Ensino Médio ⇒ Potenciação e radiciação [equação][livro do iezzi]

[leotrin]

Bom dia, pessoal. Encontrei esse exercício na coleção Fundamentos de Matemática Elementar, do Iezzi, no volume 2, sobre logaritmos. To batendo cabeça com esse exercício e não consegui achar um caminho simples, se alguém puder ajudar, é o seguinte:

(Exercício B34-b)
Simplificar: [tex3]\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}+\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}+\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}}[/tex3]

Resposta

---

[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

[snooplammer]

[tex3]\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}+\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}}=x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}+\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}}=x[/tex3]

[tex3]x^2=a^2+2ab+b^2[/tex3]

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[tex3]x^2=a^2+2ab+b^2[/tex3]

e assim vai...

Também vai ter que lembra da fórmula do radical duplo

[snooplammer]

Deve ter alguma saída mágica, mas a primeira coisa que me veio na mente é isso

[leotrin]

É essa "saída mágica" que eu queria saber haha
Já tentei racionalizar o denominador de cada termo primeiro e somar depois, já tentei somar os termos primeiro pra depois racionalizar o denominador, já tentei elevar tudo ao quadrado como vc falou, mas todas essas tentativas resultam em um processo muito trabalhoso...
O exercício anterior (B34-a) é parecido, olha só: [tex3]\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}+\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}+\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}[/tex3]

Esse eu resolvi só racionalizando os denominadores:
[tex3]\sqrt{\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}}+\sqrt{\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}}+\sqrt{\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}}=[/tex3]

[tex3]=\sqrt{\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}{(2)^2-(\sqrt{3})^2}}+\sqrt{\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)^2}{(2)^2+(\sqrt{3})^2}}=\sqrt{\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}{4-3}}+\sqrt{\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)^2}{4-3}}=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]=\sqrt{\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}{(2)^2-(\sqrt{3})^2}}+\sqrt{\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)^2}{(2)^2+(\sqrt{3})^2}}=\sqrt{\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}{4-3}}+\sqrt{\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)^2}{4-3}}=[/tex3]

[tex3]=\sqrt{\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}{1}}+\sqrt{\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)^2}{1}}=(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]=\sqrt{\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}{1}}+\sqrt{\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)^2}{1}}=(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=2[/tex3]

[erihh3]

Usa que

[tex3]2+\sqrt 3 =\frac{(\sqrt 3+1)^2}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2+\sqrt 3 =\frac{(\sqrt 3+1)^2}{2}[/tex3]

[tex3]2-\sqrt 3 =\frac{(\sqrt 3-1)^2}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2-\sqrt 3 =\frac{(\sqrt 3-1)^2}{2}[/tex3]

fazendo isso os radicais vão sumindo.

Eu estou do celular. Tenta fazer usando essa ideia. Se não sair, avisa aqui que eu tento escrever a solução usando isso mais tarde.

[leotrin]

Usa que

[tex3]2+\sqrt 3 =\frac{(\sqrt 3+1)^2}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2+\sqrt 3 =\frac{(\sqrt 3+1)^2}{2}[/tex3]

[tex3]2-\sqrt 3 =\frac{(\sqrt 3-1)^2}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2-\sqrt 3 =\frac{(\sqrt 3-1)^2}{2}[/tex3]

fazendo isso os radicais vão sumindo.

Eu estou do celular. Tenta fazer usando essa ideia. Se não sair, avisa aqui que eu tento escrever a solução usando isso mais tarde.

Boa, vou tentar isso!

eu tava tentando resolver dessa forma:
[tex3]\begin{cases}
a=2+\sqrt{3} \\
b=2-\sqrt{3}
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
a=2+\sqrt{3} \\
b=2-\sqrt{3}
\end{cases}[/tex3]

de modo que
[tex3]\begin{cases}
a.b=1 \\
a+b=4 \\
a-b=2\sqrt{3}
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
a.b=1 \\
a+b=4 \\
a-b=2\sqrt{3}
\end{cases}[/tex3]

disso havia resultado o seguinte:
[tex3]\frac{a}{\sqrt{2}+\sqrt{a}}+\frac{b}{\sqrt{2}-\sqrt{b}}=\frac{a}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{a}\right)}.\frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{a}\right)}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{a}\right)}+\frac{b}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{b}\right)}.\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{b}\right)}=[/tex3]

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[tex3]\frac{a}{\sqrt{2}+\sqrt{a}}+\frac{b}{\sqrt{2}-\sqrt{b}}=\frac{a}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{a}\right)}.\frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{a}\right)}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{a}\right)}+\frac{b}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{b}\right)}.\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{b}\right)}=[/tex3]

[tex3]=\frac{a.\left(\sqrt{2}-\sqrt{a}\right)}{2-a}+\frac{b.\left(\sqrt{2}+\sqrt{b}\right)}{2-b}=\frac{a.\left(\sqrt{2}-\sqrt{a}\right)\left(2-b\right)+b.\left(\sqrt{2}+\sqrt{b}\right)\left(2-a\right)}{(2-a)(2-b)}=...[/tex3]

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[tex3]=\frac{a.\left(\sqrt{2}-\sqrt{a}\right)}{2-a}+\frac{b.\left(\sqrt{2}+\sqrt{b}\right)}{2-b}=\frac{a.\left(\sqrt{2}-\sqrt{a}\right)\left(2-b\right)+b.\left(\sqrt{2}+\sqrt{b}\right)\left(2-a\right)}{(2-a)(2-b)}=...[/tex3]

Mas ainda assim não tava chegando a lugar nenhum... Vou tentar utilizar essa igualdade que vc falou

[Killin]

Eu encontrei que [tex3]E^2=\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{3}}[/tex3]

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[tex3]E^2=\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{3}}[/tex3]

[leotrin]

Agora deu certo!

Sendo
[tex3]\begin{cases}
a=2+\sqrt{3}=\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}{2} \\
b=2-\sqrt{3}=\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}{2}
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
a=2+\sqrt{3}=\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}{2} \\
b=2-\sqrt{3}=\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}{2}
\end{cases}[/tex3]

de modo que
[tex3]\begin{cases}
a.b=1 \\
a+b=4 \\
a-b=2\sqrt{3} \\
a^2=7+4\sqrt{3} \\
b^2=7-4\sqrt{3} \\
\sqrt{a}.\sqrt{2}=\sqrt{3}+1 \\
\sqrt{b}.\sqrt{2}=\sqrt{3}-1
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
a.b=1 \\
a+b=4 \\
a-b=2\sqrt{3} \\
a^2=7+4\sqrt{3} \\
b^2=7-4\sqrt{3} \\
\sqrt{a}.\sqrt{2}=\sqrt{3}+1 \\
\sqrt{b}.\sqrt{2}=\sqrt{3}-1
\end{cases}[/tex3]

Daí temos o seguinte:
[tex3]x=\frac{a}{\sqrt{2}+\sqrt{a}}+\frac{b}{\sqrt{2}-\sqrt{b}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=\frac{a}{\sqrt{2}+\sqrt{a}}+\frac{b}{\sqrt{2}-\sqrt{b}}[/tex3]

[tex3]x^2=\left(\frac{a}{\sqrt{2}+\sqrt{a}}+\frac{b}{\sqrt{2}-\sqrt{b}}\right)^2=\left(\frac{a}{\sqrt{2}+\sqrt{a}}\right)^2+\left(\frac{b}{\sqrt{2}-\sqrt{b}}\right)^2+2\left(\frac{a}{\sqrt{2}+\sqrt{a}}\cdot \frac{b}{\sqrt{2}-\sqrt{b}}\right)=[/tex3]

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[tex3]x^2=\left(\frac{a}{\sqrt{2}+\sqrt{a}}+\frac{b}{\sqrt{2}-\sqrt{b}}\right)^2=\left(\frac{a}{\sqrt{2}+\sqrt{a}}\right)^2+\left(\frac{b}{\sqrt{2}-\sqrt{b}}\right)^2+2\left(\frac{a}{\sqrt{2}+\sqrt{a}}\cdot \frac{b}{\sqrt{2}-\sqrt{b}}\right)=[/tex3]

[tex3]=\frac{a^2}{2+2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{a}+a}+\frac{b^2}{2-2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{b}+b}+\frac{2ab}{2-\left(\sqrt{2}\cdot \sqrt{b}\right) +\left(\sqrt{2}\cdot \sqrt{a}\right)-\sqrt{ab}}[/tex3]

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[tex3]=\frac{a^2}{2+2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{a}+a}+\frac{b^2}{2-2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{b}+b}+\frac{2ab}{2-\left(\sqrt{2}\cdot \sqrt{b}\right) +\left(\sqrt{2}\cdot \sqrt{a}\right)-\sqrt{ab}}[/tex3]

Substituindo os valores:
[tex3]=\frac{7+4\sqrt{3}}{6+3\sqrt{3}}+\frac{7-4\sqrt{3}}{6-3\sqrt{3}}+2\cdot \frac{1}{3}=\frac{2\cdot \left(42-36\right)}{36-27}+\frac{2}{3}=\frac{12}{9}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}=\frac{6}{3}[/tex3]

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[tex3]=\frac{7+4\sqrt{3}}{6+3\sqrt{3}}+\frac{7-4\sqrt{3}}{6-3\sqrt{3}}+2\cdot \frac{1}{3}=\frac{2\cdot \left(42-36\right)}{36-27}+\frac{2}{3}=\frac{12}{9}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}=\frac{6}{3}[/tex3]

[tex3]\therefore x^2=2[/tex3]

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[tex3]\therefore x^2=2[/tex3]

Assim, chegamos a
[tex3]x=\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]x=\sqrt{2}[/tex3]

[erihh3]

Sem adicionar as variáveis "a" e "b" fica ainda melhor. O [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

no denominador é muito conveniente. Mas a ideia é essa! Boa!

[leotrin]

Pode crer, as variáveis foram as marcas das tentativas rs perdi um tempo indo e voltando, acho que tava faltando ver que [tex3]\sqrt{m}=n \rightarrow m=n^2[/tex3]

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[tex3]\sqrt{m}=n \rightarrow m=n^2[/tex3]

, quer dizer, sabendo que [tex3]m>0[/tex3]

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[tex3]m>0[/tex3]

e [tex3]n>0[/tex3]

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[tex3]n>0[/tex3]

, [tex3]\sqrt{m}=\sqrt{n^2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{m}=\sqrt{n^2}[/tex3]

, no caso: [tex3]2+\sqrt{3}=(x+y\sqrt{3})^2=x^2+3y^2+2xy\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]2+\sqrt{3}=(x+y\sqrt{3})^2=x^2+3y^2+2xy\sqrt{3}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
x^2+3y^2=2 \\
2xy=1
\end{cases}\rightarrow \begin{cases}
x=\frac{1}{\sqrt{2}} \\
y=\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
x^2+3y^2=2 \\
2xy=1
\end{cases}\rightarrow \begin{cases}
x=\frac{1}{\sqrt{2}} \\
y=\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{cases}[/tex3]

Daí chegar em [tex3]\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)^2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)^2}[/tex3]

[tex3]2+\sqrt{3}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)^2=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+2\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)+\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{4}{2}+\frac{2\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2+\sqrt{3}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)^2=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+2\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)+\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{4}{2}+\frac{2\sqrt{3}}{2}[/tex3]

E fazendo o mesmo raciocínio pra expressão [tex3]2-\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2-\sqrt{3}[/tex3]

, chega a [tex3]\left( -\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \right)^2=\frac{4}{2}-\frac{2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left( -\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \right)^2=\frac{4}{2}-\frac{2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}[/tex3]

Continuando:
[tex3]2+\sqrt{3}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)^2=\left(\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)^2}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2+\sqrt{3}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)^2=\left(\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)^2}{2}[/tex3]

É isso?