Ensino Médio ⇒ Frações Algebricas Tópico resolvido

[guiaguiarsan]

O denominador racional da fração [tex3]\frac{c}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{a + b}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{c}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{a + b}}[/tex3]

é igual a:

Resposta

---

3ab(a+b)

[AndreBRasera]

E aí, belezura?

Esse caso bem incomum usa um produto notável pouco conhecido, amigo... Para entender melhor de onde vem isso, eu recomendaria que você desse uma olhada no Polinômio de Leibniz.

O produto é esse aqui:

[tex3]\left ( x + y - z \right ) \left ( x^2 + y^2 + z^2 + xz - xy + yz \right ) = x^3 + y^3 - z^3 + 3xyz[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left ( x + y - z \right ) \left ( x^2 + y^2 + z^2 + xz - xy + yz \right ) = x^3 + y^3 - z^3 + 3xyz[/tex3]

Nesse caso, [tex3]x = \sqrt[3]{a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x = \sqrt[3]{a}[/tex3]

; [tex3]y = \sqrt[3]{b}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y = \sqrt[3]{b}[/tex3]

e [tex3]z = \sqrt[3]{a+b}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z = \sqrt[3]{a+b}[/tex3]

[tex3]\frac{c}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{a + b}} = \frac{c}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{a + b}} \cdot \frac{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b^2} + \sqrt[3]{\left ( a + b \right )^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{a(a + b)} + \sqrt[3]{b(a + b)}}{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b^2} + \sqrt[3]{\left ( a + b \right )^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{a(a+b)} + \sqrt[3]{b(a + b)}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{c}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{a + b}} = \frac{c}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{a + b}} \cdot \frac{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b^2} + \sqrt[3]{\left ( a + b \right )^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{a(a + b)} + \sqrt[3]{b(a + b)}}{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b^2} + \sqrt[3]{\left ( a + b \right )^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{a(a+b)} + \sqrt[3]{b(a + b)}}[/tex3]

[tex3]\frac{c}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{a + b}} = \frac{c \left ( \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b^2} + \sqrt[3]{\left ( a + b \right )^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{a(a + b)} + \sqrt[3]{b(a + b)} \right )}{a+b-(a+b)+3\sqrt[3]{ab(a+b)}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{c}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{a + b}} = \frac{c \left ( \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b^2} + \sqrt[3]{\left ( a + b \right )^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{a(a + b)} + \sqrt[3]{b(a + b)} \right )}{a+b-(a+b)+3\sqrt[3]{ab(a+b)}}[/tex3]

[tex3]\frac{c}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{a + b}} = \frac{c \left ( \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b^2} + \sqrt[3]{\left ( a + b \right )^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{a(a + b)} + \sqrt[3]{b(a + b)} \right )}{3\sqrt[3]{ab(a+b)}}\cdot \frac{\sqrt[3]{\left ( ab \left ( a + b \right ) \right )^2}}{\sqrt[3]{\left ( ab \left ( a + b \right ) \right )^2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{c}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{a + b}} = \frac{c \left ( \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b^2} + \sqrt[3]{\left ( a + b \right )^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{a(a + b)} + \sqrt[3]{b(a + b)} \right )}{3\sqrt[3]{ab(a+b)}}\cdot \frac{\sqrt[3]{\left ( ab \left ( a + b \right ) \right )^2}}{\sqrt[3]{\left ( ab \left ( a + b \right ) \right )^2}}[/tex3]

[tex3]\frac{c}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{a + b}} = \frac{c \cdot \left ( \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b^2} + \sqrt[3]{\left ( a + b \right )^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{a(a + b)} + \sqrt[3]{b(a + b)} \right ) \cdot \left ( \sqrt[3]{\left ( ab \left ( a + b \right ) \right )^2} \right )}{3{ab(a+b)}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{c}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{a + b}} = \frac{c \cdot \left ( \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b^2} + \sqrt[3]{\left ( a + b \right )^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{a(a + b)} + \sqrt[3]{b(a + b)} \right ) \cdot \left ( \sqrt[3]{\left ( ab \left ( a + b \right ) \right )^2} \right )}{3{ab(a+b)}}[/tex3]

Ufa! É isso!

Desde já, peço perdão caso tenha errado algum sinal, escrevi tanto código que até fiquei meio tonto hahahaha

Abraços

[guiaguiarsan]

Poxa, muito obrigado pela sua compreensão, esses produtos notáveis são um terror, valeu!!!