Ensino Médio ⇒ (PAS 3 2016 - UnB) Equação de Circunferência Tópico resolvido

[phmoyet]

Se os pontos A, C, A’ e C’ estiverem sobre a mesma circunferência e as abscissas de A e C forem, respectivamente, iguais a !4 e !5, então a ordenada do centro dessa circunferência será inferior a 4.
Obs: as ordenadas de A e C são, respectivamente, 7 e 5 (também válidas para A' e C')

geo.png (29.14 KiB) Exibido 1548 vezes

Resposta

---

Afirmativa Correta

[AlguémMeHelp]

Espero que ainda não tenha ocorrido a prova do PAS 3 para que possa ver a resolução antes de encará-la!!

De forma genérica, a equação da circunferência é dada por [tex3]\lambda :\;\;\;(x\:-\:a)^2\:+\:(y\:-\:b)^2\:=\:R^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lambda :\;\;\;(x\:-\:a)^2\:+\:(y\:-\:b)^2\:=\:R^2[/tex3]

, em que a e b são as coordenadas do centro da circunferência [tex3]C(a\:;\:b)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C(a\:;\:b)[/tex3]

e [tex3]R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R[/tex3]

é o raio dela.

O mais legal dessa questão é que vc aprende que tem como descobrir as coordenadas do centro sem precisar saber da medida de seu raio, caso te sejam fornecidos, no mínimo, 3 pontos distintos. No caso, temos 4!! Os pontos são: A(-4 ; 7), A' (4 ; 7), C(-5 ; 7) e C' (5 ; 7). Irei jogar os pontos C e C' para que perceba uma "manha" nesse tipo de questão:

[tex3]\begin{cases}
(-5\:-\:a)^2\:+\:(5\:-\:b)^2\:=\:R^2 \\
(5\:-\:a)^2\:+\:(5\:-\:b)^2\:=\:R^2
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
(-5\:-\:a)^2\:+\:(5\:-\:b)^2\:=\:R^2 \\
(5\:-\:a)^2\:+\:(5\:-\:b)^2\:=\:R^2
\end{cases}[/tex3]

Note que ambas as expressões encontradas são, obviamente, iguais a [tex3]R^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R^2[/tex3]

, já que pertencem à mesma circunferência. Logo, podemos igualá-las!

[tex3](-5\:-\:a)^2\:+\:(5\:-\:b)^2\:= (5\:-\:a)^2\:+\:(5\:-\:b)^2
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](-5\:-\:a)^2\:+\:(5\:-\:b)^2\:= (5\:-\:a)^2\:+\:(5\:-\:b)^2
[/tex3]

Perceba que há o termo [tex3](5 \:-\:b)^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](5 \:-\:b)^2[/tex3]

em ambos os lados da equação; bora "cortar" eles daí!!

[tex3](-5\:-\:a)^2\:= (5\:-\:a)^2\:\;\;\Rightarrow\;\;25\:+\:10a+a^2\:=\:25\:-\:10a\:+\:a^2\;\;\;\;\;\;\therefore\:a\:=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](-5\:-\:a)^2\:= (5\:-\:a)^2\:\;\;\Rightarrow\;\;25\:+\:10a+a^2\:=\:25\:-\:10a\:+\:a^2\;\;\;\;\;\;\therefore\:a\:=0[/tex3]

Assim, sendo a = 0 , note como ficou a equação geral [tex3]\:\lambda:\;\;(x)^2\:+\:(y\:-\:b)^2\:=\:R^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\:\lambda:\;\;(x)^2\:+\:(y\:-\:b)^2\:=\:R^2[/tex3]

. A partir daí podemos jogar as coordenadas de A e C, igualando suas expressões. Agora farei direto para ir mais rápido, ok?

[tex3](-4)^2\:+\:(7\:-\:b)^2\:= (-5)^2\:+\:(5\:-\:b)^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](-4)^2\:+\:(7\:-\:b)^2\:= (-5)^2\:+\:(5\:-\:b)^2[/tex3]

.
.
.
.
.
.

[tex3]\therefore\;\;b\:=\:\frac{15}{4}\:=\:3.75[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\therefore\;\;b\:=\:\frac{15}{4}\:=\:3.75[/tex3]

. Desse modo, observe que, realmente, a ordenada do centro é menor do que 4. Item CORRETO.

[phmoyet]

Muito obrigado, a prova é dia 09/12, amanhã!!!

[AlguémMeHelp]

phmoyet, vai com tudo, cara!! Arrebenta lá!! Já tive de fazer essa prova tbm e sei que é bem exigente! cuidado com o tempo! Vai com Deus