Ensino Médio ⇒ Geometria Tópico resolvido

[Babi123]

No retângulo [tex3]ABCD[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ABCD[/tex3]

, temos que [tex3]DE = 6[/tex3]

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[tex3]DE = 6[/tex3]

, [tex3]DA = 8[/tex3]

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[tex3]DA = 8[/tex3]

e [tex3]DC = 6[/tex3]

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[tex3]DC = 6[/tex3]

. Se o prolongamento de [tex3]CE[/tex3]

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[tex3]CE[/tex3]

se encontra com a circunferência do retângulo em [tex3]F[/tex3]

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[tex3]F[/tex3]

, encontre a medida [tex3]DF[/tex3]

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[tex3]DF[/tex3]

.

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[Killin]

Das relações métricas no círculo:

[tex3]EC \cdot EF =ED\cdot EA \leftrightarrow EC \cdot EF= 6 \cdot 2 = 12 \ \ (i) [/tex3]

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[tex3]EC \cdot EF =ED\cdot EA \leftrightarrow EC \cdot EF= 6 \cdot 2 = 12 \ \ (i) [/tex3]

Pitágoras no triângulo DCE: [tex3]\Rightarrow EC = 6 \sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\Rightarrow EC = 6 \sqrt{2}[/tex3]

Substituindo em (i) [tex3]\Rightarrow EF =\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\Rightarrow EF =\sqrt{2}[/tex3]

Voltando ao triângulo retângulo DCE, seja [tex3]\theta[/tex3]

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[tex3]\theta[/tex3]

o ângulo DCE: [tex3]\Rightarrow tg \theta=1 \Rightarrow \theta =45º [/tex3]

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[tex3]\Rightarrow tg \theta=1 \Rightarrow \theta =45º [/tex3]

Portanto DEC vale 45º também, logo, DEF vale 135º.


Lei dos Cossenos no triângulo DEF:
[tex3]DF^2=DE^2+EF^2-2DE \cdot EF \cdot cos 135º \\ DF^2=36+2-2 \cdot 6\cdot \sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \\ DF^2=38+12 \\ DF=\sqrt{50}=5\sqrt{2}

[/tex3]

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[tex3]DF^2=DE^2+EF^2-2DE \cdot EF \cdot cos 135º \\ DF^2=36+2-2 \cdot 6\cdot \sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \\ DF^2=38+12 \\ DF=\sqrt{50}=5\sqrt{2}

[/tex3]

Acredito que seja isso.

[Babi123]

Não tenho o gabarito, mas oq vc fez parece estar tudo correto, exceto [tex3]EF[/tex3]

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[tex3]EF[/tex3]

que deve ser [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

.
Grata pela ajuda.

[Babi123]

Desconsidere oq falei. Tava viajando .

[Babi123]

Acho que vc acabou trocando algumas coisas na lei dos cossenos, aproveitando oq vc fez, fica:
[tex3]DF^2=DE^2+EF^2-2\cdot DE \cdot EF \cdot cos 135º \\ DF^2=36+2-2\cdot6\cdot \sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \\ DF^2=38+12 \\ DF=\sqrt{50} \\DF=5\sqrt{2}

[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]DF^2=DE^2+EF^2-2\cdot DE \cdot EF \cdot cos 135º \\ DF^2=36+2-2\cdot6\cdot \sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \\ DF^2=38+12 \\ DF=\sqrt{50} \\DF=5\sqrt{2}

[/tex3]

[Killin]

Realmente, eu fiz muito rápido troquei algumas coisas, mas agora já tá certo, valeu.