Ensino Médio ⇒ Geometria Espacial - Paralelepípedo Obliquo Tópico resolvido

[GehSillva7]

A base de um paralelepípedo oblíquo é um quadrado de lado a e suas arestas laterais medem 2a. Se uma das arestas laterais forma um ângulo de 60° com os lados adjacentes da base e o volume do paralelepípedo é 8 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

cm³, determine a.

[petras]

Fazendo PQ [tex3]\mathsf{\perp AD ~em~ Q \rightarrow \bigtriangleup _{AQE}, \bigtriangleup_{AQP} e \bigtriangleup_{EPQ}são~retângulos\\ \bigtriangleup _{AQE}\rightarrow cos60^o=\frac{AQ}{AE}\rightarrow \frac{1}{2}=\frac{AQ}{b}\rightarrow AQ=\frac{b}{2},sen60^o=\frac{EQ}{AE}\rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{EQ}{b}\rightarrow EQ=\frac{b\sqrt{3}}{2}\\
\\
\bigtriangleup _{AQP}é~isósceles \rightarrow QP=AP \rightarrow QP=\frac{b}{2}\\
\bigtriangleup _{EPQ}\rightarrow EP^2=EQ^2-QP^2\rightarrow h^2=(\frac{b\sqrt{3}}{2})^2 -(\frac{b}{2})^2\rightarrow h=\frac{b\sqrt{2}}{2}\\
V=a^2.h=a^2\cdot\frac{b\sqrt{2}}{2}} [/tex3]

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[tex3]\mathsf{\perp AD ~em~ Q \rightarrow \bigtriangleup _{AQE}, \bigtriangleup_{AQP} e \bigtriangleup_{EPQ}são~retângulos\\ \bigtriangleup _{AQE}\rightarrow cos60^o=\frac{AQ}{AE}\rightarrow \frac{1}{2}=\frac{AQ}{b}\rightarrow AQ=\frac{b}{2},sen60^o=\frac{EQ}{AE}\rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{EQ}{b}\rightarrow EQ=\frac{b\sqrt{3}}{2}\\
\\
\bigtriangleup _{AQP}é~isósceles \rightarrow QP=AP \rightarrow QP=\frac{b}{2}\\
\bigtriangleup _{EPQ}\rightarrow EP^2=EQ^2-QP^2\rightarrow h^2=(\frac{b\sqrt{3}}{2})^2 -(\frac{b}{2})^2\rightarrow h=\frac{b\sqrt{2}}{2}\\
V=a^2.h=a^2\cdot\frac{b\sqrt{2}}{2}} [/tex3]

(Resolução Iezzi)

[petras]

Complementando : [tex3]\mathsf{V=a^2.h=a^2\cdot\frac{b\sqrt{2}}{2} =\frac{a^2.2a\sqrt2}{2}=a^3\sqrt2=8\sqrt2\\
\therefore \boxed{a=2}\color{green}\checkmark }[/tex3]

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[tex3]\mathsf{V=a^2.h=a^2\cdot\frac{b\sqrt{2}}{2} =\frac{a^2.2a\sqrt2}{2}=a^3\sqrt2=8\sqrt2\\
\therefore \boxed{a=2}\color{green}\checkmark }[/tex3]