Ensino MédioAnálise Combinatória

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anthero
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Análise Combinatória

Mensagem não lida por anthero »

Dado R cores de quantas maneiras distintas pode-se pintar as faces de um tetraedro regular?
Nota: Se mediante rotações convenientes, a coloração de dois tetraedros coincidir, então trata-se da mesma coloração.
Ex:
8 cores = 400 formas




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csmarcelo
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Re: Análise Combinatória

Mensagem não lida por csmarcelo »

8 cores = 400 formas
De fato, para 8 cores teremos 400 formas? Porque eu, apesar de não saber se estou correto, cheguei à uma fórmula que diz que, para 8 cores, existem apenas 140 formas.

Vamos lá...

A primeira parte da resolução é bem simples. Temos 8 cores para pintar 4 faces. Não podemos repetir as cores. Então...

1) Para a primeira face, escolhemos uma das 8 cores.
2) Para a segunda face, escolhemos uma das 7 cores restantes.
3) Para a terceira face, escolhemos uma das 6 cores restantes.
4) Para a quarta face, escolhemos uma das 5 cores restantes.

É o famoso princípio fundamental da contagem: [tex3]8\cdot7\cdot6\cdot5=1680[/tex3]

No entanto, imagine a seguinte situação:

Você já escolheu as quatro cores que irá utilizar para pintar o tetraedro. Ele está disposto sobre uma superfície qualquer. Conseguimos, portanto, ver três faces. A base você pintou previamente com uma das cores escolhidas. Agora, precisa pintar as outras três faces, cada uma delas com uma das três cores que sobraram.

Você define pintará as faces em sentido horário, começando pela cor A, em seguida pela cor B e, depois, a C. Concorda que, independentemente da face que você escolher para começar, o resultado final será o mesmo? Ou seja, a posição relativa entre as cores será exatamente a mesma? Mas o princípio fundamental da contagem "não enxerga" isso. Para ele, cada face que você escolher como a inicial resultará em um tetraedro distinto, o que não é uma verdade.

Pois bem, temos, então, 3 possibilidades de escolha da face inicial, mas, também, podemos escolher qualquer uma das 4 faces do tetraedro como base! Ou seja, no fim das contas, existem apenas, acredito eu, [tex3]\frac{A^R_4}{12}[/tex3] formas de se pintar um tetraedro regular com R cores.




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Re: Análise Combinatória

Mensagem não lida por anthero »

Eu também achei estranho ser 400, depois um professor da minha faculdade disse que realmente é 400. Tem a ver com uma coisa chama Lema de Burnside. No caso, seria mais um problema de teoria dos grupos.
Última edição: anthero (Qui 08 Nov, 2018 12:14). Total de 1 vez.



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Re: Análise Combinatória

Mensagem não lida por Killin »

Tem os casos em que todas as faces são da mesma cor, 3 faces da mesma cor etc. Não há restrição quanto a isso.


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csmarcelo
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Re: Análise Combinatória

Mensagem não lida por csmarcelo »

Tem razão. Ele não diz que as cores devem ser distintas. Vou pensar sobre os outros casos e ler sobre esse Lema.



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Re: Análise Combinatória

Mensagem não lida por Killin »

Com 4 cores em mãos, e tendo que pintar as 4 faces de cores distintas, eu consigo montar mais de um disposição?


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Re: Análise Combinatória

Mensagem não lida por anthero »

Killin escreveu:
Qui 08 Nov, 2018 17:39
Com 4 cores em mãos, e tendo que pintar as 4 faces de cores distintas, eu consigo montar mais de um disposição?
Sim, com 4 cores seria possível 36 combinações.



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Re: Análise Combinatória

Mensagem não lida por Killin »

Consegui resolver a para o caso de 8 cores! Vamos lá:

Temos 4 casos gerais para levar em conta:
1) As 4 faces com a mesma cor: 8 possibilidades.

2) 3 faces com a mesma cor e 1 com uma cor diferente: 8 possibilidades para escolher a cor que vai ser usada nas três faces e em cada uma dessas 8 possibilidades abre 7 para ser usada uma única vez: 8*7 = 56 possibilidades

3.1) 2 faces com uma mesma cor e as outras duas com uma outra cor: trata-se de determinar quantos conjuntos de 2 cores distintas dá pra formar, ou seja, [tex3]C^2_8=28[/tex3]

3.2) 2 faces com uma mesma cor e as outras duas com cores distintas: 8 possibilidades para escolher a cor que será usada em 2 faces vezes os conjuntos diferentes de 2 cores em 7 cores possíveis -> [tex3]8*C^2_7=168[/tex3]

4) As 4 faces com cores distintas. Aqui dá pra pegar o resultado do csmarcelo, que foi o que ele pensou que a questão se tratava de início -> 140 possibilidades. Mas vou deixar uma maneira que encontrei: vamos pegar um conjunto de 4 cores em 8, o que dá pra fazer de [tex3]C^4_8[/tex3] maneiras, com um conjunto de 4 cores em mãos dá pra formar 2 disposições diferentes, que é a resposta do meu comentário anterior. Para ver que isso é verdade pense o seguinte: olhando o tetraedro de cima, teremos a face sul, a face noroeste e a face nordeste. Seja a face sul verde, a noroeste preta e a nordeste azul. Perceba que com essa disposição, rotacionando o tetraedro, nunca conseguiriamos deixar face sul verde a noroeste azul e a nordeste preta, o que significa que temos que multiplicar o [tex3]C^4_8[/tex3] por 2. Portanto, [tex3]2 \cdot C^4_8=140[/tex3]

Somando tudo, 8 + 56 + 28 + 168 + 140 = 400
Última edição: Killin (Qui 08 Nov, 2018 18:56). Total de 1 vez.


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Re: Análise Combinatória

Mensagem não lida por Killin »

Com esse raciocínio dá pra passar tranquilamente pro caso geral:

Resposta: [tex3]R+R(R-1)+C^2_R+R \cdot C^2_{R-1}+2C^4_R[/tex3]


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Re: Análise Combinatória

Mensagem não lida por Killin »

O csmarcelo explicou melhor o meu caso 4, dá pra pegar o resultado dele também, o que geraria pro caso geral a resposta:

[tex3]R+R(R-1)+C^2_R+R \cdot C^2_{R-1}+\frac{A^R _4}{12}[/tex3]



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