Ensino MédioTeorema da Bissetriz Interna

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Out 2018 27 09:03

Teorema da Bissetriz Interna

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:21471) »

Considerando as medidas indicadas na figura e sabendo que o círculo está inscrito no triângulo, determine x.
B7D3186F-7429-4B9D-ACAA-1116E3BA5FEB.jpeg
B7D3186F-7429-4B9D-ACAA-1116E3BA5FEB.jpeg (38.49 KiB) Exibido 2944 vezes
Resposta

15

Última edição: caju (Sáb 27 Out, 2018 13:10). Total de 1 vez.
Razão: retirar o enunciado da imagem.



Autor do Tópico
Auto Excluído (ID:12031)
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Out 2018 27 09:25

Re: Teorema da Bissetriz Interna

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

tutorgeom.png
tutorgeom.png (262.18 KiB) Exibido 2962 vezes
os triângulos retângulos [tex3]\Delta AXI[/tex3] e [tex3]\Delta AYI[/tex3] são congruentes (iguais) por terem mesma hipotenusa [tex3]AI[/tex3] e mesmo catetos: [tex3]YI = XI[/tex3]

logo [tex3]AX= AY = 3[/tex3] logo o lado esquerdo vale [tex3]6+3=9[/tex3]

sabemos que [tex3]6+x = 7+y \implies y = x-1[/tex3]
apliquemos o teorema da bissetriz interna com relação ao vértice A:

[tex3]\frac{9}{7} = \frac{3+x}{x-1} \implies 9x-9 = 21 + 7x \implies 2x = 30 \implies x=15[/tex3]




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Gwynbleidd
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Re: Teorema da Bissetriz Interna

Mensagem não lida por Gwynbleidd »

Só não consegui entender [tex3]6+x=7+y[/tex3] , pode me explicar?


“Evil is evil. Lesser, greater, middling… makes no difference. The degree is arbitrary. The definition’s blurred. If I’m to choose between one evil and another, I’d rather not choose at all."

Autor do Tópico
Auto Excluído (ID:12031)
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Re: Teorema da Bissetriz Interna

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

são duas formas de descrever o lado de baixo (BC):

o mesmo argumento que eu usei para mostrar que [tex3]AX = AY[/tex3] pode ser usado pra mostrar que as distâncias entre o vértice a esquerda (vou chamar ele de B) e os pontos de tangencia da circunferência aos lados AB e BC são iguais. Isso é, se [tex3]Z[/tex3] é o encontro da circunferência com o lado BC então [tex3]BX = BZ = 6[/tex3] e [tex3]CY = CZ = x[/tex3]
logo [tex3]BC = BZ + CZ = 6+x[/tex3]

mas olhando pelo pé da bissetriz a partir de [tex3]A[/tex3] (vou chamar esse pé de [tex3]M[/tex3] ) temos [tex3]BM = 7[/tex3] e portanto [tex3]y = CM = BC - BM = (6+x)-7 = x-1[/tex3]



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Gwynbleidd
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Re: Teorema da Bissetriz Interna

Mensagem não lida por Gwynbleidd »

Entendi agora, eu tava pensando que o encontro da bissetriz com o lado BC era o ponto de tangência, muito obrigado! :D


“Evil is evil. Lesser, greater, middling… makes no difference. The degree is arbitrary. The definition’s blurred. If I’m to choose between one evil and another, I’d rather not choose at all."

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graceraira
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Re: Teorema da Bissetriz Interna

Mensagem não lida por graceraira »

sousóeu escreveu:
Sáb 27 Out, 2018 09:48
são duas formas de descrever o lado de baixo (BC):

o mesmo argumento que eu usei para mostrar que [tex3]AX = AY[/tex3] pode ser usado pra mostrar que as distâncias entre o vértice a esquerda (vou chamar ele de B) e os pontos de tangencia da circunferência aos lados AB e BC são iguais. Isso é, se [tex3]Z[/tex3] é o encontro da circunferência com o lado BC então [tex3]BX = BZ = 6[/tex3] e [tex3]CY = CZ = x[/tex3]
logo [tex3]BC = BZ + CZ = 6+x[/tex3]

mas olhando pelo pé da bissetriz a partir de [tex3]A[/tex3] (vou chamar esse pé de [tex3]M[/tex3] ) temos [tex3]BM = 7[/tex3] e portanto [tex3]y = CM = BC - BM = (6+x)-7 = x-1[/tex3]
Desculpa, mas eu fiquei com dúvida. Não consegui identificar todas as letras no triângulo. Você poderia colocar no desenho?
triangulo.jpg
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Auto Excluído (ID:12031)
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Re: Teorema da Bissetriz Interna

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

graceraira, você errou o ponto C ele é o vértice da direita do triângulo maior. BC é o lado oposto ao vértice A no triângulo que circunscreve a circunferência tanto é que ele vale 7+y
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Sex 19 Jul, 2019 19:31). Total de 2 vezes.



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Jhonatan
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Re: Teorema da Bissetriz Interna

Mensagem não lida por Jhonatan »

Alguém poderia explicar, novamente, por quê 6 + x = 7 + y ? Eu li a explicação mas não entendi.



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petras
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Re: Teorema da Bissetriz Interna

Mensagem não lida por petras »

Jhonatan,

ZC = X
DC = Y
BZ + ZC = BD + DC --: 6 + X =7 + Y
Anexos
TI.jpg
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Jhonatan
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Re: Teorema da Bissetriz Interna

Mensagem não lida por Jhonatan »

muito obrigado pela ajuda, petras!!!!!




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