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Yuribtcssa · Mensagem não lida por **Yuribtcssa** » 25 Set 2018, 15:19

boa tarde, estou com dificuldades de resolver a seguinte questão:

[tex3]\begin{cases}\sqrt{x}-\sqrt{y}= \log_3\left(\frac{y}{x}\right) \\ 2^{x+2}+8^{x}= 5\cdot 4^{y}\end{cases}[/tex3]

Desde já, grato...

Mensagem não lida por **erihh3** » 26 Set 2018, 21:10

Das restrições do problema, sabemos que x e y são maiores que 0.

Analisando a primeira equação, tem-se:

[tex3]\log_3\left(x\right)+\sqrt{x}= \log_3\left(y\right)+\sqrt{y}[/tex3]

Seja [tex3]f(z)=\log_3\left(z\right)+\sqrt{z},\quad \forall z>0[/tex3]

Desse jeito, a equação dada ficará [tex3]f(x)=f(y)[/tex3] .

Vamos mostrar, agora, que f é injetora.

Analisando o sinal da primeira derivada:

[tex3]f'(z)=\frac{1}{z.\ln3}+\frac{1}{2\sqrt{2}}[/tex3]

Para z>0 ( como foi definida), f'(z)>0. Portanto, f(z) é estritamente crescente e INJETORA!

Voltando, agora, para o nosso problema,temos:

[tex3]f(x)=f(y)\Rightarrow x=y[/tex3]

Sabendo que x=y, vamos analisar a segunda equação dada.

[tex3]2^{x+2}+8^{x}= 5\cdot 4^{y}[/tex3]
[tex3]2^{x+2}+8^{x}= 5\cdot 4^{x}[/tex3]
[tex3]4.2^{x}+2^{3x}= 5\cdot 2^{2x}[/tex3]
[tex3]2^{3x}-5\cdot 2^{2x}+4.2^{x}= 0[/tex3]
[tex3]2^x((2^{x})^2-5\cdot 2^{x}+4)= 0[/tex3]

Resolvendo o segundo grau em relação a 2^x, temos a seguinte fatoração:

[tex3]2^x(2^{x}-1)(2^x-4)= 0[/tex3]

Caso1: [tex3]2^x=0[/tex3] . Impossível! [tex3]2^x>0, \forall x \in \mathbb{R}[/tex3]

Caso 2: [tex3]2^{x}-1=0\Rightarrow x=0.[/tex3] Impossível! Vimos no início do problema que x>0 para a existência de [tex3]\log \left(\frac{y}{x}\right)[/tex3] .

Caso 3: [tex3]2^x-4=0\Rightarrow x=2[/tex3] . OK!

Portanto, a solução do sistema é [tex3]x=y=2[/tex3] !

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(Álgebra) Sistema de Equações

Re: (Álgebra) Sistema de Equações

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