boa tarde, estou com dificuldades de resolver a seguinte questão:
[tex3]\begin{cases}\sqrt{x}-\sqrt{y}= \log_3\left(\frac{y}{x}\right) \\ 2^{x+2}+8^{x}= 5\cdot 4^{y}\end{cases}[/tex3]
Desde já, grato...
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Médio ⇒ (Álgebra) Sistema de Equações
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Set 2018
25
15:19
(Álgebra) Sistema de Equações
Editado pela última vez por caju em 26 Set 2018, 09:27, em um total de 3 vezes.
Razão: arrumar enunciado e título.
Razão: arrumar enunciado e título.
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Set 2018
26
21:10
Re: (Álgebra) Sistema de Equações
Das restrições do problema, sabemos que x e y são maiores que 0.
Analisando a primeira equação, tem-se:
[tex3]\log_3\left(x\right)+\sqrt{x}= \log_3\left(y\right)+\sqrt{y}[/tex3]
Seja [tex3]f(z)=\log_3\left(z\right)+\sqrt{z},\quad \forall z>0[/tex3]
Desse jeito, a equação dada ficará [tex3]f(x)=f(y)[/tex3] .
Vamos mostrar, agora, que f é injetora.
Analisando o sinal da primeira derivada:
[tex3]f'(z)=\frac{1}{z.\ln3}+\frac{1}{2\sqrt{2}}[/tex3]
Para z>0 ( como foi definida), f'(z)>0. Portanto, f(z) é estritamente crescente e INJETORA!
Voltando, agora, para o nosso problema,temos:
[tex3]f(x)=f(y)\Rightarrow x=y[/tex3]
Sabendo que x=y, vamos analisar a segunda equação dada.
[tex3]2^{x+2}+8^{x}= 5\cdot 4^{y}[/tex3]
[tex3]2^{x+2}+8^{x}= 5\cdot 4^{x}[/tex3]
[tex3]4.2^{x}+2^{3x}= 5\cdot 2^{2x}[/tex3]
[tex3]2^{3x}-5\cdot 2^{2x}+4.2^{x}= 0[/tex3]
[tex3]2^x((2^{x})^2-5\cdot 2^{x}+4)= 0[/tex3]
Resolvendo o segundo grau em relação a 2^x, temos a seguinte fatoração:
[tex3]2^x(2^{x}-1)(2^x-4)= 0[/tex3]
Caso1: [tex3]2^x=0[/tex3] . Impossível! [tex3]2^x>0, \forall x \in \mathbb{R}[/tex3]
Caso 2: [tex3]2^{x}-1=0\Rightarrow x=0.[/tex3] Impossível! Vimos no início do problema que x>0 para a existência de [tex3]\log \left(\frac{y}{x}\right)[/tex3] .
Caso 3: [tex3]2^x-4=0\Rightarrow x=2[/tex3] . OK!
Portanto, a solução do sistema é [tex3]x=y=2[/tex3] !
Analisando a primeira equação, tem-se:
[tex3]\log_3\left(x\right)+\sqrt{x}= \log_3\left(y\right)+\sqrt{y}[/tex3]
Seja [tex3]f(z)=\log_3\left(z\right)+\sqrt{z},\quad \forall z>0[/tex3]
Desse jeito, a equação dada ficará [tex3]f(x)=f(y)[/tex3] .
Vamos mostrar, agora, que f é injetora.
Analisando o sinal da primeira derivada:
[tex3]f'(z)=\frac{1}{z.\ln3}+\frac{1}{2\sqrt{2}}[/tex3]
Para z>0 ( como foi definida), f'(z)>0. Portanto, f(z) é estritamente crescente e INJETORA!
Voltando, agora, para o nosso problema,temos:
[tex3]f(x)=f(y)\Rightarrow x=y[/tex3]
Sabendo que x=y, vamos analisar a segunda equação dada.
[tex3]2^{x+2}+8^{x}= 5\cdot 4^{y}[/tex3]
[tex3]2^{x+2}+8^{x}= 5\cdot 4^{x}[/tex3]
[tex3]4.2^{x}+2^{3x}= 5\cdot 2^{2x}[/tex3]
[tex3]2^{3x}-5\cdot 2^{2x}+4.2^{x}= 0[/tex3]
[tex3]2^x((2^{x})^2-5\cdot 2^{x}+4)= 0[/tex3]
Resolvendo o segundo grau em relação a 2^x, temos a seguinte fatoração:
[tex3]2^x(2^{x}-1)(2^x-4)= 0[/tex3]
Caso1: [tex3]2^x=0[/tex3] . Impossível! [tex3]2^x>0, \forall x \in \mathbb{R}[/tex3]
Caso 2: [tex3]2^{x}-1=0\Rightarrow x=0.[/tex3] Impossível! Vimos no início do problema que x>0 para a existência de [tex3]\log \left(\frac{y}{x}\right)[/tex3] .
Caso 3: [tex3]2^x-4=0\Rightarrow x=2[/tex3] . OK!
Portanto, a solução do sistema é [tex3]x=y=2[/tex3] !
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