Ensino Médio ⇒ Relações de Girard Tópico resolvido

[AugustoITA]

Calcule a soma dos quadrados das raízes dá equação [tex3]4x^9+x^8+(3+i)x^7+(6-i)x^3+4x-1=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4x^9+x^8+(3+i)x^7+(6-i)x^3+4x-1=0[/tex3]

.

Resposta

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[tex3]\dfrac{-23-8i}{16}[/tex3]

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[tex3]\dfrac{-23-8i}{16}[/tex3]

[jvmago]

Dá uma segurada aí e já mato ela

[jvmago]

Voltei!!

Para resolve esse problema basta lembrar que [tex3](a+b+c+.....)^2=a^2+b^2+c^2+......+2(ab+ac+ad+bc+...)[/tex3]

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[tex3](a+b+c+.....)^2=a^2+b^2+c^2+......+2(ab+ac+ad+bc+...)[/tex3]

Em outras palavras, sempre que um n termos em soma estiverem sendo elevados ao quadrado teremos a soma dos quadrados dos termos mais o produto deles dois a dois portanto:

Seja [tex3]a,b,c,d,e,f,g,h,i[/tex3]

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[tex3]a,b,c,d,e,f,g,h,i[/tex3]

as raízes dessa equação
[tex3]a^2+b^2+c^2+d^2+f^2+e^2+g^2+h^2+i^2=x[/tex3]

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[tex3]a^2+b^2+c^2+d^2+f^2+e^2+g^2+h^2+i^2=x[/tex3]

Pelas relações de girard temos:

[tex3]a+b+c+d+e+f+g+h+i=\frac{-1}{4}[/tex3]

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[tex3]a+b+c+d+e+f+g+h+i=\frac{-1}{4}[/tex3]

elevando ao quadrado teremos:

[tex3]x+2(ab+ac+ad+......)=\frac{1}{16}[/tex3]

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[tex3]x+2(ab+ac+ad+......)=\frac{1}{16}[/tex3]

Por girard, a soma dois a dois é [tex3]\frac{(3+i)}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{(3+i)}{4}[/tex3]

agora está trivial

[tex3]x+2\frac{(3+i)}{4}=\frac{1}{16}[/tex3]

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[tex3]x+2\frac{(3+i)}{4}=\frac{1}{16}[/tex3]

resolvendo isso fica facil chegar em

[tex3]x=\frac{-23-8i}{16}[/tex3]

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[tex3]x=\frac{-23-8i}{16}[/tex3]