Ensino Médio ⇒ Semelhança de triângulos complexa Tópico resolvido

[Ana29Carolina]

Seja ABC um triângulo e X, Y, Z pontos sobre os lados BC, CA e AB respectivamente tais que CX/XB = AY/YC = BZ/ZA = 3. Se a área do triângulo XYZ é 7, qual é a área do triângulo ABC?

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[Tassandro]

Ana29Carolina,
Chame [tex3]BX=x;CY=y;AZ=z[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]BX=x;CY=y;AZ=z[/tex3]

Assim,
[tex3]\begin{cases}[ABC]=\frac{4z\cdot4x\sen\hat B}2\\
[BXZ]=\frac{3z\cdot x\sen\hat B}{2}\end{cases}\implies[BXZ]=\frac{3}{16}[ABC][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}[ABC]=\frac{4z\cdot4x\sen\hat B}2\\
[BXZ]=\frac{3z\cdot x\sen\hat B}{2}\end{cases}\implies[BXZ]=\frac{3}{16}[ABC][/tex3]

O mesmo vale para os triângulos AYZ e CXY, assim,
[tex3][XYZ]=\frac{16-9}{16}[ABC]=\frac{7}{16}[ABC]\implies [ABC]=16[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][XYZ]=\frac{16-9}{16}[ABC]=\frac{7}{16}[ABC]\implies [ABC]=16[/tex3]