Ensino MédioSistema de Equações Logarítmicas

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Auto Excluído (ID:20100)
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Set 2018 08 08:51

Sistema de Equações Logarítmicas

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:20100) »

FME Vol2 B.171) [tex3]\begin{cases}
2x^y-x^{-y}=1 \\
log_2\ y=\sqrt{x}
\end{cases}[/tex3]
Resposta

S={(1,2)}

Última edição: Auto Excluído (ID:20100) (Sáb 08 Set, 2018 12:43). Total de 1 vez.



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Presa
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Set 2018 08 12:37

Re: Sistema de Equações Logarítmicas

Mensagem não lida por Presa »

Olá !!
Tem certeza que a questão está assim ??
No meu livro está assim :
[tex3]\begin{cases}
2x^y-x^{-y}=1 \\
log_2\ y=\sqrt{x}
\end{cases}[/tex3]



"Não reclame, apenas se esforce mais."

Autor do Tópico
Auto Excluído (ID:20100)
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Set 2018 08 12:44

Re: Sistema de Equações Logarítmicas

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:20100) »

No seu livro está certo,Presa, obrigada por notar!



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Presa
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Set 2018 08 14:43

Re: Sistema de Equações Logarítmicas

Mensagem não lida por Presa »

Bom, se for assim, tenho uma solução :

I) Usando a primeira linha temos o seguinte : 2 [tex3]x^{y} - x^{-y}[/tex3] =1 [tex3]\rightarrow [/tex3] 2 [tex3]x^{y} - \frac{1}{x^{y}}[/tex3] =1 [tex3]\rightarrow [/tex3] 2([tex3]x^{y}[/tex3] )²-1=[tex3]x^{y}\rightarrow [/tex3] 2([tex3]x^{y}[/tex3] )²-[tex3]x^{y}[/tex3] -1=0 [tex3]\rightarrow [/tex3] Chamando [tex3]x^{y}[/tex3] =t [tex3]\rightarrow [/tex3] 2 [tex3]t^{2}[/tex3] -t-1=0 [tex3]\rightarrow [/tex3] Resolvendo a equação do 2º grau, achamos as raízes 1 ou [tex3]\frac{-1}{2}[/tex3]

II) Então temos que [tex3]x^{y}[/tex3] =1 ou [tex3]x^{y} = \frac{-1}{2}\rightarrow [/tex3] aplicando log nas raízes [tex3]\rightarrow [/tex3] obtemos o seguinte : log [tex3]x^{y}[/tex3] =log1 e log [tex3]x^{y}[/tex3] =log [tex3]\left(\frac{-1}{2}\right)[/tex3]

III) No primeiro caso temos o seguinte log [tex3]x^{y}[/tex3] = 0 e no segundo log [tex3]x^{y}[/tex3] = INDEFINIDO, logo excluímos a raíz [tex3]\frac{-1}{2}[/tex3]

IV) Sabendo que [tex3]x^{y}[/tex3] =1, pela propriedade de potência temos os seguintes casos para um número ser elevado a outro e der 1, ou ele é do tipo [tex3]n^{0}[/tex3] ou [tex3]1^{n}\rightarrow [/tex3] ou seja x pode ser qualquer número e y ser igual a 0 OU x=1 e y=qualquer número.

V)Voltando para a segunda equação do sistema temos que : [tex3]log_{2}[/tex3] y=[tex3]\sqrt{x}\rightarrow [/tex3] [tex3]2^{\sqrt{x}}[/tex3] =y [tex3]\rightarrow [/tex3] Testando o que foi dito no passo IV) [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]2^{\sqrt{x}}[/tex3] =y [tex3]\rightarrow 2^{\sqrt{n}}[/tex3] =0, impossível [tex3]\rightarrow [/tex3] Usando o segundo caso [tex3]2^{\sqrt{1}}[/tex3] =n, é válido [tex3]\rightarrow [/tex3] Logo, a solução do sistema é x=1 e y = 2

Espero que tenha entendido, qualquer dúvida é só falar. Bons Estudos !!

Última edição: Presa (Sáb 08 Set, 2018 14:44). Total de 2 vezes.


"Não reclame, apenas se esforce mais."

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