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Pontos Médios do Quadrado
Enviado: Sáb 01 Set, 2018 11:52
por Auto Excluído (ID:21471)
Na figura, ABCD é um quadrado, onde BC + CE = AE. Sendo F o ponto médio de DC, prove BÂE = 2FÂD.
Eu já encontrei essa questão aqui no fórum, mas as resoluções estão usando trigonometria, mas há alguma maneira de resolvê-la utilizando relações entre os pontos médios do quadrado.
Re: Pontos Médios do Quadrado
Enviado: Sáb 01 Set, 2018 19:59
por jvmago
encontrei aqui [tex3]BaE=180-2FaD[/tex3]
vou verificar se não me equivoquei aqui
Re: Pontos Médios do Quadrado
Enviado: Sáb 01 Set, 2018 20:37
por jvmago
Seja [tex3]M[/tex3]
o ponto médio de [tex3]BC[/tex3]
trace [tex3]AM[/tex3]
e teremos [tex3]AF=AM[/tex3]
Seja [tex3]K[/tex3]
um ponto exterior ao quadrado tal que sej colinear com [tex3]A,B[/tex3]
e [tex3]E,M[/tex3]
temos que [tex3]EM=MK[/tex3]
e [tex3]BK=EC[/tex3]
.
Note que pelo enunciado [tex3]AE=EC+BC[/tex3]
mas [tex3]EC=BK[/tex3]
portanto [tex3]AE=BK+BC[/tex3]
note agora que [tex3]AK=AB+BK[/tex3]
mas [tex3]AB=BC[/tex3]
portanto [tex3]AK=BK+BC[/tex3]
e com isto concluímos que [tex3]\Delta EAK[/tex3]
é isósceles de maneira que [tex3]MkA=KeA=90-\frac{x}{2}[/tex3]
.
Aqui entra o problema note que pelo caso LLL os triangulo [tex3]\Delta MAB=\Delta DFA[/tex3]
.
Fica fácil ver que se [tex3]MkA=90-\frac{x}{2}[/tex3]
e [tex3]AmK=90º[/tex3]
, [tex3]MaB=\frac{x}{2}[/tex3]
Comparando pela congruencia dos triangulo vemos que quem está oposto a [tex3]MB[/tex3]
no [tex3]\Delta AMB[/tex3]
é [tex3]\frac{x}{2}[/tex3]
e quem está oposto a [tex3]DF[/tex3]
no [tex3]\Delta ADF[/tex3]
é [tex3]a[/tex3]
como [tex3]DF=MB[/tex3]
então por congruencia:
[tex3]a=\frac{x}{2}[/tex3]
[tex3]x=2a[/tex3]