Ensino Médio ⇒ Geometria - Trapézio Tópico resolvido

[Andre13000]

Através do ponto O de interseção das diagonais mutualmente perpendiculares de um trapézio isósceles ABCD (AD||BC), é traçado o segmento MK tal que é perpendicular a CD, tendo M em AB e K em CD. Determine MK sabendo que AD=40 e BC=30.

[MatheusBorges]

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O [tex3]\triangle ABD\equiv \triangle CAD [/tex3]

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[tex3]\triangle ABD\equiv \triangle CAD [/tex3]

, pelo caso LAL, vide que o trapézio é isósceles [tex3]\rightarrow \triangle ABC \equiv \triangle BCD\rightarrow \beta =\theta \rightarrow \alpha =\psi\rightarrow \alpha =45\rightarrow \triangle AOD\cap \triangle OBC\cap \triangle OBM\cap \triangle OMA [/tex3]

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[tex3]\rightarrow \triangle ABC \equiv \triangle BCD\rightarrow \beta =\theta \rightarrow \alpha =\psi\rightarrow \alpha =45\rightarrow \triangle AOD\cap \triangle OBC\cap \triangle OBM\cap \triangle OMA [/tex3]

são isósceles! Então M é o ponto médio de [tex3]\overline{AB}[/tex3]

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[tex3]\overline{AB}[/tex3]

.

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Por pitágoras no [tex3]\triangle ABO\rightarrow k=\frac{25\sqrt{2}}{2}\rightarrow 2k=\overline{CD}=25\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\triangle ABO\rightarrow k=\frac{25\sqrt{2}}{2}\rightarrow 2k=\overline{CD}=25\sqrt{2}[/tex3]

e como o produto da hipotenusa pela altura de um triângulo resulta no produto entre os catetos, vem que:
[tex3]\overline{OK}=\frac{15\sqrt{2}.20\sqrt{2}}{25\sqrt{2}}\leftrightarrow12\sqrt{2} \rightarrow \overline{MK}=\frac{25\sqrt{2}+24\sqrt{2}}{2}\rightarrow \boxed{\overline{MK}=\frac{49\sqrt{2}}{2}}[/tex3]

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[tex3]\overline{OK}=\frac{15\sqrt{2}.20\sqrt{2}}{25\sqrt{2}}\leftrightarrow12\sqrt{2} \rightarrow \overline{MK}=\frac{25\sqrt{2}+24\sqrt{2}}{2}\rightarrow \boxed{\overline{MK}=\frac{49\sqrt{2}}{2}}[/tex3]