GABARITO
2013
Ensino Médio ⇒ Polinômios Tópico resolvido
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MateusQqMD 
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Set 2018
22
00:18
Polinômios
Seja f(x) um polinômio de grau 2010 que satisfaz [tex3]f(\text{k}) = - \frac{2}{\text{k}}[/tex3]
para todo k = 1, 2, 3, ..., 2011. Se f(2012) representa uma fração irredutível da forma [tex3]\frac{\text{m}}{\text{n}}[/tex3]
, então o valor absoluto de m + n vale
2013
2013
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
Set 2018
22
13:14
Re: Polinômios
O gabarito está certo? Eu não achei o gabarito, mas vou postar aqui o que eu fiz para ver se alguém acha o erro caso ele esteja certo.
QUESTÃO
O polinômio será da seguinte forma:
[tex3]f(x)=a_{2010}.x^{2010}+a_{2010}.x^{2010}+...+a_{1}.x^{1}+a_{0}.x^{0}[/tex3]
Pelo teorema de Lagrange, dado que temos 2010+1 pontos, existe um único polinômio de grau menor ou igual a 2010 que passará por esses pontos (que é o polinômio acima) e ele será da seguinte forma:
[tex3]f(x)=\sum_{k=1}^{2011}y_ka_k(x)[/tex3]
Onde [tex3]y_k[/tex3] é o valor dado para o polinômio original
Na boa, a idéia é escrever o polinômio como a soma de outros polinômios de forma que cada parcela seja nula em todos os pontos menos em um e seja igual ao valor do polinômio original dado quando houver essa exceção. Então [tex3]a_k [/tex3] terá a seguinte forma:
[tex3]a_k=\frac{(x-1)(x-2)..(x-(k-1))(x-(k+1))..(x-2011)}{(k-1)(k-2)..(\not k-(\not k-1))(\not k-(\not k+1))..(k-2011)}[/tex3]
Ao escrevermos a sua expressão, fica fácil de perceber que toda parcela dará 0 para qualquer valor de x entre os pontos dados (x=1 ... x=2011) menos quando colocamos um x=k, que dará 1 por conta da simetria no denomidador e numerador.
Sem mais delongas, já que eu sei a forma do polinômio dados os 2011 pontos, vamos escrever o [tex3]f(2012)[/tex3] .
[tex3]f(2012)=\sum_{k=1}^{2011}y_ka_k(2012)=\sum_{k=1}^{2011}y_k.\frac{(2012-1)(2012-2)..(2012-(k-1)).(2012-(k+1))..(2012-2011)}{(k-1)(k-2)..(\not k-(\not k-1))(\not k-(\not k+1))..(k-2011)}[/tex3]
O numerador é muito parecido com 2011!, basta multiplicarmos e dividirmos por (2012-k) para que isso aconteça.
Além disso, no denominador, podemos ver que o produto das parcelas de (k-(k-1)) para trás é exatamente (k-1)!
Ainda no denominador, vemos que se multiplacarmos por (-1) "k-1"(numero de termos com a mesma forma) vezes, teremos (2011-k)!
Fazendo as alterações como forma de simplificar e usando o fato que [tex3]f(k)=\frac{-2}{k}\;k\in {1,2\,..\,2011}[/tex3] , a expressão ficou:
[tex3]f(2012)=\sum_{k=1}^{2011}\frac{-2}{k}.\frac{2011!}{(2012-k).(-1)^{k-1}.(2011-k)!.(k-1)!}[/tex3]
Aglutinando os fatoriais e colocando o "-1" no numerador, teremos:
[tex3]f(2012)=\sum_{k=1}^{2011}2.\frac{(-1)^k.2011!}{(2012-k)!.(k)!}[/tex3]
[tex3]f(2012)=\sum_{k=1}^{2011}\frac{2}{2012}\frac{(-1)^k.2012!}{(2012-k)!.(k)!}[/tex3]
[tex3]f(2012)=\frac{1}{1006}\sum_{k=1}^{2011}\frac{(-1)^k.2012!}{(2012-k)!.(k)!}[/tex3]
O lado direito da equação está muuito parecido com o binomial até 2012, basta adicionar dois termos ao somatório: o termo em que k=2012 e k=0, que serão 1. Confirme jogando eles na expressão do somatório.
[tex3]f(2012)=\frac{1}{1006}\left[\sum_{k=0}^{2012}\frac{(-1)^k.2012!}{(2012-k)!.(k)!}-2\right][/tex3]
No entanto, esse binomial de é exatamente a expansão de [tex3](1-1)^{2012}[/tex3] , que é ZERO!
Portanto,
[tex3]f(2012)=\frac{-1}{503}[/tex3]
Então,
[tex3]m+n=503-1=502[/tex3]
A motivação para o polinômio de Lagrange foi quando eu estava tentando determinar os coeficientes da equação escrevendo o sistema 2011x2011 e precisei resolver determinantes de matrizes de Vandermonde e, ao achar os dois primeiros termos, eu me liguei que estava muito parecido com Lagrange
QUESTÃO
O polinômio será da seguinte forma:
[tex3]f(x)=a_{2010}.x^{2010}+a_{2010}.x^{2010}+...+a_{1}.x^{1}+a_{0}.x^{0}[/tex3]
Pelo teorema de Lagrange, dado que temos 2010+1 pontos, existe um único polinômio de grau menor ou igual a 2010 que passará por esses pontos (que é o polinômio acima) e ele será da seguinte forma:
[tex3]f(x)=\sum_{k=1}^{2011}y_ka_k(x)[/tex3]
Onde [tex3]y_k[/tex3] é o valor dado para o polinômio original
Na boa, a idéia é escrever o polinômio como a soma de outros polinômios de forma que cada parcela seja nula em todos os pontos menos em um e seja igual ao valor do polinômio original dado quando houver essa exceção. Então [tex3]a_k [/tex3] terá a seguinte forma:
[tex3]a_k=\frac{(x-1)(x-2)..(x-(k-1))(x-(k+1))..(x-2011)}{(k-1)(k-2)..(\not k-(\not k-1))(\not k-(\not k+1))..(k-2011)}[/tex3]
Ao escrevermos a sua expressão, fica fácil de perceber que toda parcela dará 0 para qualquer valor de x entre os pontos dados (x=1 ... x=2011) menos quando colocamos um x=k, que dará 1 por conta da simetria no denomidador e numerador.
Sem mais delongas, já que eu sei a forma do polinômio dados os 2011 pontos, vamos escrever o [tex3]f(2012)[/tex3] .
[tex3]f(2012)=\sum_{k=1}^{2011}y_ka_k(2012)=\sum_{k=1}^{2011}y_k.\frac{(2012-1)(2012-2)..(2012-(k-1)).(2012-(k+1))..(2012-2011)}{(k-1)(k-2)..(\not k-(\not k-1))(\not k-(\not k+1))..(k-2011)}[/tex3]
O numerador é muito parecido com 2011!, basta multiplicarmos e dividirmos por (2012-k) para que isso aconteça.
Além disso, no denominador, podemos ver que o produto das parcelas de (k-(k-1)) para trás é exatamente (k-1)!
Ainda no denominador, vemos que se multiplacarmos por (-1) "k-1"(numero de termos com a mesma forma) vezes, teremos (2011-k)!
Fazendo as alterações como forma de simplificar e usando o fato que [tex3]f(k)=\frac{-2}{k}\;k\in {1,2\,..\,2011}[/tex3] , a expressão ficou:
[tex3]f(2012)=\sum_{k=1}^{2011}\frac{-2}{k}.\frac{2011!}{(2012-k).(-1)^{k-1}.(2011-k)!.(k-1)!}[/tex3]
Aglutinando os fatoriais e colocando o "-1" no numerador, teremos:
[tex3]f(2012)=\sum_{k=1}^{2011}2.\frac{(-1)^k.2011!}{(2012-k)!.(k)!}[/tex3]
[tex3]f(2012)=\sum_{k=1}^{2011}\frac{2}{2012}\frac{(-1)^k.2012!}{(2012-k)!.(k)!}[/tex3]
[tex3]f(2012)=\frac{1}{1006}\sum_{k=1}^{2011}\frac{(-1)^k.2012!}{(2012-k)!.(k)!}[/tex3]
O lado direito da equação está muuito parecido com o binomial até 2012, basta adicionar dois termos ao somatório: o termo em que k=2012 e k=0, que serão 1. Confirme jogando eles na expressão do somatório.
[tex3]f(2012)=\frac{1}{1006}\left[\sum_{k=0}^{2012}\frac{(-1)^k.2012!}{(2012-k)!.(k)!}-2\right][/tex3]
No entanto, esse binomial de é exatamente a expansão de [tex3](1-1)^{2012}[/tex3] , que é ZERO!
Portanto,
[tex3]f(2012)=\frac{-1}{503}[/tex3]
Então,
[tex3]m+n=503-1=502[/tex3]
A motivação para o polinômio de Lagrange foi quando eu estava tentando determinar os coeficientes da equação escrevendo o sistema 2011x2011 e precisei resolver determinantes de matrizes de Vandermonde e, ao achar os dois primeiros termos, eu me liguei que estava muito parecido com Lagrange
Última edição: erihh3 (Sáb 22 Set, 2018 18:15). Total de 1 vez.
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22
20:16
Re: Polinômios
Mil perdões, de fato a resposta é 502. Acontece que o gabarito está um pouco apagado e eu confundi a letra D (2013) com a letra B (502).. Novamente, muito obrigado.
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
Set 2018
22
21:15
Re: Polinômios
MateusQqMD,
Tranquilo!
De onde é a questão?
As duas últimas questões que eu vi você postar foram boas.
Tranquilo!
De onde é a questão?
As duas últimas questões que eu vi você postar foram boas.
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MateusQqMD
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Set 2018
22
22:36
Re: Polinômios
Todas as questões de matemática que eu postei são do material de revisão do tio Judson
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
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