Pelo teorema de Lagrange, dado que temos 2010+1 pontos, existe um único polinômio de grau menor ou igual a 2010 que passará por esses pontos (que é o polinômio acima) e ele será da seguinte forma:
Na boa, a idéia é escrever o polinômio como a soma de outros polinômios de forma que cada parcela seja nula em todos os pontos menos em um e seja igual ao valor do polinômio original dado quando houver essa exceção. Então [tex3]a_k [/tex3]
Ao escrevermos a sua expressão, fica fácil de perceber que toda parcela dará 0 para qualquer valor de x entre os pontos dados (x=1 ... x=2011) menos quando colocamos um x=k, que dará 1 por conta da simetria no denomidador e numerador.
Sem mais delongas, já que eu sei a forma do polinômio dados os 2011 pontos, vamos escrever o [tex3]f(2012)[/tex3]
O numerador é muito parecido com 2011!, basta multiplicarmos e dividirmos por (2012-k) para que isso aconteça.
Além disso, no denominador, podemos ver que o produto das parcelas de (k-(k-1)) para trás é exatamente (k-1)!
Ainda no denominador, vemos que se multiplacarmos por (-1) "k-1"(numero de termos com a mesma forma) vezes, teremos (2011-k)!
Fazendo as alterações como forma de simplificar e usando o fato que [tex3]f(k)=\frac{-2}{k}\;k\in {1,2\,..\,2011}[/tex3]
O lado direito da equação está muuito parecido com o binomial até 2012, basta adicionar dois termos ao somatório: o termo em que k=2012 e k=0, que serão 1. Confirme jogando eles na expressão do somatório.
A motivação para o polinômio de Lagrange foi quando eu estava tentando determinar os coeficientes da equação escrevendo o sistema 2011x2011 e precisei resolver determinantes de matrizes de Vandermonde e, ao achar os dois primeiros termos, eu me liguei que estava muito parecido com Lagrange
Última edição: erihh3 (Sáb 22 Set, 2018 18:15). Total de 1 vez.
Mil perdões, de fato a resposta é 502. Acontece que o gabarito está um pouco apagado e eu confundi a letra D (2013) com a letra B (502).. Novamente, muito obrigado.
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
Se ab + ac + bc = 2014 com a ≠ b ≠ c, então o valor da expressão
\frac{a^3(b+c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3(c+a)}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^3(a+b)}{(c-a)(c-b)} vale
Sejam a, b e c as raízes da equação x³+3x²+5x+7=0. Considere um polinômio P(x) de terceiro grau, satisfazendo as condições:
i) P(a) = b+c ; P(b) = a+c ; P(c) = a+b
ii) P(a+b+c) = 16
Então, o valor...