GABARITO
2013
Ensino Médio ⇒ Polinômios Tópico resolvido
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MateusQqMD
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Set 2018
22
00:18
Polinômios
Seja f(x) um polinômio de grau 2010 que satisfaz [tex3]f(\text{k}) = - \frac{2}{\text{k}}[/tex3]
para todo k = 1, 2, 3, ..., 2011. Se f(2012) representa uma fração irredutível da forma [tex3]\frac{\text{m}}{\text{n}}[/tex3]
, então o valor absoluto de m + n vale
2013
2013
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
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erihh3
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Set 2018
22
13:14
Re: Polinômios
O gabarito está certo? Eu não achei o gabarito, mas vou postar aqui o que eu fiz para ver se alguém acha o erro caso ele esteja certo.
QUESTÃO
O polinômio será da seguinte forma:
[tex3]f(x)=a_{2010}.x^{2010}+a_{2010}.x^{2010}+...+a_{1}.x^{1}+a_{0}.x^{0}[/tex3]
Pelo teorema de Lagrange, dado que temos 2010+1 pontos, existe um único polinômio de grau menor ou igual a 2010 que passará por esses pontos (que é o polinômio acima) e ele será da seguinte forma:
[tex3]f(x)=\sum_{k=1}^{2011}y_ka_k(x)[/tex3]
Onde [tex3]y_k[/tex3] é o valor dado para o polinômio original
Na boa, a idéia é escrever o polinômio como a soma de outros polinômios de forma que cada parcela seja nula em todos os pontos menos em um e seja igual ao valor do polinômio original dado quando houver essa exceção. Então [tex3]a_k [/tex3] terá a seguinte forma:
[tex3]a_k=\frac{(x-1)(x-2)..(x-(k-1))(x-(k+1))..(x-2011)}{(k-1)(k-2)..(\not k-(\not k-1))(\not k-(\not k+1))..(k-2011)}[/tex3]
Ao escrevermos a sua expressão, fica fácil de perceber que toda parcela dará 0 para qualquer valor de x entre os pontos dados (x=1 ... x=2011) menos quando colocamos um x=k, que dará 1 por conta da simetria no denomidador e numerador.
Sem mais delongas, já que eu sei a forma do polinômio dados os 2011 pontos, vamos escrever o [tex3]f(2012)[/tex3] .
[tex3]f(2012)=\sum_{k=1}^{2011}y_ka_k(2012)=\sum_{k=1}^{2011}y_k.\frac{(2012-1)(2012-2)..(2012-(k-1)).(2012-(k+1))..(2012-2011)}{(k-1)(k-2)..(\not k-(\not k-1))(\not k-(\not k+1))..(k-2011)}[/tex3]
O numerador é muito parecido com 2011!, basta multiplicarmos e dividirmos por (2012-k) para que isso aconteça.
Além disso, no denominador, podemos ver que o produto das parcelas de (k-(k-1)) para trás é exatamente (k-1)!
Ainda no denominador, vemos que se multiplacarmos por (-1) "k-1"(numero de termos com a mesma forma) vezes, teremos (2011-k)!
Fazendo as alterações como forma de simplificar e usando o fato que [tex3]f(k)=\frac{-2}{k}\;k\in {1,2\,..\,2011}[/tex3] , a expressão ficou:
[tex3]f(2012)=\sum_{k=1}^{2011}\frac{-2}{k}.\frac{2011!}{(2012-k).(-1)^{k-1}.(2011-k)!.(k-1)!}[/tex3]
Aglutinando os fatoriais e colocando o "-1" no numerador, teremos:
[tex3]f(2012)=\sum_{k=1}^{2011}2.\frac{(-1)^k.2011!}{(2012-k)!.(k)!}[/tex3]
[tex3]f(2012)=\sum_{k=1}^{2011}\frac{2}{2012}\frac{(-1)^k.2012!}{(2012-k)!.(k)!}[/tex3]
[tex3]f(2012)=\frac{1}{1006}\sum_{k=1}^{2011}\frac{(-1)^k.2012!}{(2012-k)!.(k)!}[/tex3]
O lado direito da equação está muuito parecido com o binomial até 2012, basta adicionar dois termos ao somatório: o termo em que k=2012 e k=0, que serão 1. Confirme jogando eles na expressão do somatório.
[tex3]f(2012)=\frac{1}{1006}\left[\sum_{k=0}^{2012}\frac{(-1)^k.2012!}{(2012-k)!.(k)!}-2\right][/tex3]
No entanto, esse binomial de é exatamente a expansão de [tex3](1-1)^{2012}[/tex3] , que é ZERO!
Portanto,
[tex3]f(2012)=\frac{-1}{503}[/tex3]
Então,
[tex3]m+n=503-1=502[/tex3]
A motivação para o polinômio de Lagrange foi quando eu estava tentando determinar os coeficientes da equação escrevendo o sistema 2011x2011 e precisei resolver determinantes de matrizes de Vandermonde e, ao achar os dois primeiros termos, eu me liguei que estava muito parecido com Lagrange
QUESTÃO
O polinômio será da seguinte forma:
[tex3]f(x)=a_{2010}.x^{2010}+a_{2010}.x^{2010}+...+a_{1}.x^{1}+a_{0}.x^{0}[/tex3]
Pelo teorema de Lagrange, dado que temos 2010+1 pontos, existe um único polinômio de grau menor ou igual a 2010 que passará por esses pontos (que é o polinômio acima) e ele será da seguinte forma:
[tex3]f(x)=\sum_{k=1}^{2011}y_ka_k(x)[/tex3]
Onde [tex3]y_k[/tex3] é o valor dado para o polinômio original
Na boa, a idéia é escrever o polinômio como a soma de outros polinômios de forma que cada parcela seja nula em todos os pontos menos em um e seja igual ao valor do polinômio original dado quando houver essa exceção. Então [tex3]a_k [/tex3] terá a seguinte forma:
[tex3]a_k=\frac{(x-1)(x-2)..(x-(k-1))(x-(k+1))..(x-2011)}{(k-1)(k-2)..(\not k-(\not k-1))(\not k-(\not k+1))..(k-2011)}[/tex3]
Ao escrevermos a sua expressão, fica fácil de perceber que toda parcela dará 0 para qualquer valor de x entre os pontos dados (x=1 ... x=2011) menos quando colocamos um x=k, que dará 1 por conta da simetria no denomidador e numerador.
Sem mais delongas, já que eu sei a forma do polinômio dados os 2011 pontos, vamos escrever o [tex3]f(2012)[/tex3] .
[tex3]f(2012)=\sum_{k=1}^{2011}y_ka_k(2012)=\sum_{k=1}^{2011}y_k.\frac{(2012-1)(2012-2)..(2012-(k-1)).(2012-(k+1))..(2012-2011)}{(k-1)(k-2)..(\not k-(\not k-1))(\not k-(\not k+1))..(k-2011)}[/tex3]
O numerador é muito parecido com 2011!, basta multiplicarmos e dividirmos por (2012-k) para que isso aconteça.
Além disso, no denominador, podemos ver que o produto das parcelas de (k-(k-1)) para trás é exatamente (k-1)!
Ainda no denominador, vemos que se multiplacarmos por (-1) "k-1"(numero de termos com a mesma forma) vezes, teremos (2011-k)!
Fazendo as alterações como forma de simplificar e usando o fato que [tex3]f(k)=\frac{-2}{k}\;k\in {1,2\,..\,2011}[/tex3] , a expressão ficou:
[tex3]f(2012)=\sum_{k=1}^{2011}\frac{-2}{k}.\frac{2011!}{(2012-k).(-1)^{k-1}.(2011-k)!.(k-1)!}[/tex3]
Aglutinando os fatoriais e colocando o "-1" no numerador, teremos:
[tex3]f(2012)=\sum_{k=1}^{2011}2.\frac{(-1)^k.2011!}{(2012-k)!.(k)!}[/tex3]
[tex3]f(2012)=\sum_{k=1}^{2011}\frac{2}{2012}\frac{(-1)^k.2012!}{(2012-k)!.(k)!}[/tex3]
[tex3]f(2012)=\frac{1}{1006}\sum_{k=1}^{2011}\frac{(-1)^k.2012!}{(2012-k)!.(k)!}[/tex3]
O lado direito da equação está muuito parecido com o binomial até 2012, basta adicionar dois termos ao somatório: o termo em que k=2012 e k=0, que serão 1. Confirme jogando eles na expressão do somatório.
[tex3]f(2012)=\frac{1}{1006}\left[\sum_{k=0}^{2012}\frac{(-1)^k.2012!}{(2012-k)!.(k)!}-2\right][/tex3]
No entanto, esse binomial de é exatamente a expansão de [tex3](1-1)^{2012}[/tex3] , que é ZERO!
Portanto,
[tex3]f(2012)=\frac{-1}{503}[/tex3]
Então,
[tex3]m+n=503-1=502[/tex3]
A motivação para o polinômio de Lagrange foi quando eu estava tentando determinar os coeficientes da equação escrevendo o sistema 2011x2011 e precisei resolver determinantes de matrizes de Vandermonde e, ao achar os dois primeiros termos, eu me liguei que estava muito parecido com Lagrange
Editado pela última vez por erihh3 em 22 Set 2018, 18:15, em um total de 1 vez.
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Set 2018
22
20:16
Re: Polinômios
Mil perdões, de fato a resposta é 502. Acontece que o gabarito está um pouco apagado e eu confundi a letra D (2013) com a letra B (502).. Novamente, muito obrigado.
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erihh3
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Set 2018
22
21:15
Re: Polinômios
MateusQqMD,
Tranquilo!
De onde é a questão?
As duas últimas questões que eu vi você postar foram boas.
Tranquilo!
De onde é a questão?
As duas últimas questões que eu vi você postar foram boas.
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Set 2018
22
22:36
Re: Polinômios
Todas as questões de matemática que eu postei são do material de revisão do tio Judson
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
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