Pelo teorema de Lagrange, dado que temos 2010+1 pontos, existe um único polinômio de grau menor ou igual a 2010 que passará por esses pontos (que é o polinômio acima) e ele será da seguinte forma:
Na boa, a idéia é escrever o polinômio como a soma de outros polinômios de forma que cada parcela seja nula em todos os pontos menos em um e seja igual ao valor do polinômio original dado quando houver essa exceção. Então [tex3]a_k [/tex3]
Ao escrevermos a sua expressão, fica fácil de perceber que toda parcela dará 0 para qualquer valor de x entre os pontos dados (x=1 ... x=2011) menos quando colocamos um x=k, que dará 1 por conta da simetria no denomidador e numerador.
Sem mais delongas, já que eu sei a forma do polinômio dados os 2011 pontos, vamos escrever o [tex3]f(2012)[/tex3]
O numerador é muito parecido com 2011!, basta multiplicarmos e dividirmos por (2012-k) para que isso aconteça.
Além disso, no denominador, podemos ver que o produto das parcelas de (k-(k-1)) para trás é exatamente (k-1)!
Ainda no denominador, vemos que se multiplacarmos por (-1) "k-1"(numero de termos com a mesma forma) vezes, teremos (2011-k)!
Fazendo as alterações como forma de simplificar e usando o fato que [tex3]f(k)=\frac{-2}{k}\;k\in {1,2\,..\,2011}[/tex3]
O lado direito da equação está muuito parecido com o binomial até 2012, basta adicionar dois termos ao somatório: o termo em que k=2012 e k=0, que serão 1. Confirme jogando eles na expressão do somatório.
A motivação para o polinômio de Lagrange foi quando eu estava tentando determinar os coeficientes da equação escrevendo o sistema 2011x2011 e precisei resolver determinantes de matrizes de Vandermonde e, ao achar os dois primeiros termos, eu me liguei que estava muito parecido com Lagrange
Última edição: erihh3 (Sáb 22 Set, 2018 18:15). Total de 1 vez.
Mil perdões, de fato a resposta é 502. Acontece que o gabarito está um pouco apagado e eu confundi a letra D (2013) com a letra B (502).. Novamente, muito obrigado.
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
Achar a se a e b são inteiros, tais que x²-x-1 é fator de ax^{17}+bx^{16}+1 .
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Seja \alpha uma das duas raízes de q(x)=x²-x-1 . Como q(x)|(ax^{17}+bx^{16}+1) , \alpha também é raiz deste ultimo.
Vamos encontrar \alpha^{16} em função de \alpha :...
A equação polinomial x^4-3x^2+5x-1=0 tem como raízes a, b, c e d. Se \frac{a^4}{a^4-1}+\frac{b^4}{b^4-1}+\frac{c^4}{c^4-1}+\frac{d^4}{d^4-1}=\frac{p}{q} onde p e q são inteiros e positivos primos...
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\sum_{cyc}^{}\frac{1}{a^4-1} =\frac{p}{q}-4 fica mais fácil.
Fazendo as transformações. Se fizer x\rightarrow \sqrt {x} direto vai ficar ruim, então primeiro: x\rightarrow \sqrt{x}...
Se x, y e z são números complexos que satisfazem o sistema de equações:
\begin{cases}
x+y+z=2 \\
x^2+y^2+z^2=3 \\
xyz=4
\end{cases}
Então o valor numérico de...
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como x já foi usado, imagina que a seria oq a gente normalmente usa como x
P(a) = (a-x)(a-y)(a-z) = a^3 - a^2 x - a^2 y + a x y - a^2 z + a x z + a y z - x y z\\
= a^3 -2a^2+ap_2-4