Ensino Médio ⇒ Mudança de Base - Logaritmos Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:20100)]

Se [tex3]log_{ab}a=4[/tex3]

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[tex3]log_{ab}a=4[/tex3]

, calcule [tex3]log_{ab}\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}}[/tex3]

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[tex3]log_{ab}\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}}[/tex3]

Resposta

---

[tex3]\frac{17}{6}[/tex3]

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[tex3]\frac{17}{6}[/tex3]

[MatheusBorges]

Bom dia amandaperrea!
Veja que [tex3](ab)^{4}=a\rightarrow b=a^{\frac{-3}{4}}[/tex3]

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[tex3](ab)^{4}=a\rightarrow b=a^{\frac{-3}{4}}[/tex3]

, assim [tex3]log_{ab}\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}}=\log_{ab} \left(\frac{a^{2}}{b^{3}}\right)^{\frac{1}{6}}=\frac{1}{6}.\log_{a.a^{\frac{-3}{4}}}\frac{a^{2}}{(a^{\frac{-3}{4}})^{3}}=\frac{17}{6}[/tex3]

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[tex3]log_{ab}\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}}=\log_{ab} \left(\frac{a^{2}}{b^{3}}\right)^{\frac{1}{6}}=\frac{1}{6}.\log_{a.a^{\frac{-3}{4}}}\frac{a^{2}}{(a^{\frac{-3}{4}})^{3}}=\frac{17}{6}[/tex3]

[Auto Excluído (ID:20100)]

Bom dia e obrigada, MafIl10

Tinha achado [tex3](ab)^{4}=a[/tex3]

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[tex3](ab)^{4}=a[/tex3]

e [tex3]b=a^{\frac{-3}{4}}[/tex3]

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[tex3]b=a^{\frac{-3}{4}}[/tex3]

, mas não pensei em substituí-los.

[petras]

Outra resolução utilizando as propriedades.
[tex3]\\ log_{ab}a=4 \rightarrow\frac{log_aa}{log_a{ab}}=4\rightarrow \frac{1}{log_a{ab}}=4\rightarrow log_a{ab}=\frac{1}{4}\rightarrow log_aa+log_ab=\frac{1}{4}\rightarrow log_ab=\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}\\
\\
log_{ab}\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}}=\frac{log_{a}\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}}}{log_a{ab}}=(\frac{1}{3}log_aa-\frac{1}{2}log_ab).4=(\frac{1}{3}.1-\frac{1}{2}.(-\frac{3}{4})).4=(\frac{1}{3}+\frac{3}{8}).4=\frac{17}{6}[/tex3]

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[tex3]\\ log_{ab}a=4 \rightarrow\frac{log_aa}{log_a{ab}}=4\rightarrow \frac{1}{log_a{ab}}=4\rightarrow log_a{ab}=\frac{1}{4}\rightarrow log_aa+log_ab=\frac{1}{4}\rightarrow log_ab=\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}\\
\\
log_{ab}\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}}=\frac{log_{a}\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}}}{log_a{ab}}=(\frac{1}{3}log_aa-\frac{1}{2}log_ab).4=(\frac{1}{3}.1-\frac{1}{2}.(-\frac{3}{4})).4=(\frac{1}{3}+\frac{3}{8}).4=\frac{17}{6}[/tex3]