Ensino Médio

calcular o valor de [tex3]8^{log_{4}5}[/tex3]

Resposta

[tex3]5\sqrt{5}[/tex3]

[tex3]\log_2(8^{\log_4 5})=\log_2 x[/tex3]
[tex3]\log_45\cdot\log_28=log_2 x[/tex3]
[tex3]3\cdot\log_4 5=\log_2 x[/tex3]
[tex3]3\cdot \log_{2^2}5=log_2x[/tex3]
[tex3]\frac{3}{2}log_2 5=log_2 x[/tex3]
[tex3]5^{3/2} =x[/tex3]
[tex3]x=5\cdot \sqrt{5}[/tex3]

Não entendi como [tex3]\log_2(8^{\log_4 5})=\log_2 x[/tex3] virou [tex3]\log_45\cdot\log_28=log_2 x[/tex3]

Note que o [tex3]\log_4{5}[/tex3] é um expoente, podemos utilizar a seguinte propriedade:

[tex3]\log_a{b}^c=c.log_a{b}[/tex3]

Ah tá! Entendi! Obrigada ^-^

Como que [tex3]3\cdot \log_{2^2}5=log_2x[/tex3] virou [tex3]\frac{3}{2}log_2 5=log_2 x[/tex3] ? Quando o expoente está na base ele estava dividindo o logaritmo? Como que isso ocorre? >.<

Primeiro chamemos [tex3]8^{\log_4 5}=x[/tex3]
Aplique [tex3]\log_2[/tex3] em ambos os lados

Agora para a sua segunda pergunta: sim, ele passa dividindo
Existe uma propriedade
[tex3]\log_{b^n} a=\frac{1}{n}\log_b a[/tex3]

Segundo método(mais rápido)
[tex3]8=2^3[/tex3]
[tex3]4=2^2[/tex3]
[tex3](2^3)^{\log_{2^2}5}[/tex3]

[tex3]2^{(3 \cdot \frac{1}{2}\log_2 5)}[/tex3]
[tex3]2^{\log_2 5^{3/2}}[/tex3]

Bases iguais, o logaritmando é o resultado
portanto, [tex3]5 \cdot \sqrt{5}[/tex3]

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