Ensino Médio ⇒ Área Hachurada Tópico resolvido

[Berredo]

A figura abaixo ABDC é um quadrado de lado 2 cm, tendo seus vértices intersectados por arcos de circunferências. Pode-se afirmar que a área sombreada na figura é igual a:

rr.png (6.25 KiB) Exibido 1464 vezes

(A) 2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

−[tex3]\frac{2𝜋}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{2𝜋}{3}[/tex3]

cm2
(B) [tex3]\sqrt{5}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{5}[/tex3]

+ 2𝜋 cm2
(C) 3√5 −[tex3]\frac{𝜋}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{𝜋}{2}[/tex3]

cm2
(D) 2√2 +[tex3]\frac{2𝜋}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{2𝜋}{3}[/tex3]

cm2
(E) 7√3 − 3𝜋 cm2

Resposta

---

A

[rodBR]

Olá, boa noite.

Seja [tex3]P[/tex3]

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[tex3]P[/tex3]

o ponto da interseção dos arcos. Note que [tex3]\Delta DPC [/tex3]

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[tex3]\Delta DPC [/tex3]

é equilátero, pois seus lados são iguais, e sua área será:
[tex3]A_{\Delta DPC}=\frac{4\sqrt{3}}{4}\\
\boxed{\boxed{A_{\Delta DPC}=\sqrt{3}cm^2}} [/tex3]

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[tex3]A_{\Delta DPC}=\frac{4\sqrt{3}}{4}\\
\boxed{\boxed{A_{\Delta DPC}=\sqrt{3}cm^2}} [/tex3]

Área do setor circular DPA:
[tex3]A_{DPA}=\frac{\pi\cdot \ 30^{\circ} \cdot4}{360^{\circ}}\\
A_{\Delta DPA}=\frac{\pi}{3}cm^2[/tex3]

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[tex3]A_{DPA}=\frac{\pi\cdot \ 30^{\circ} \cdot4}{360^{\circ}}\\
A_{\Delta DPA}=\frac{\pi}{3}cm^2[/tex3]

Área em vermelho:
[tex3]A_{vermelho}=\frac{\pi\cdot60^{\circ}\cdot4}{360^{\circ}}-\sqrt{3}\\
\boxed{\boxed{A_{vermelho}=\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}}}[/tex3]

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[tex3]A_{vermelho}=\frac{\pi\cdot60^{\circ}\cdot4}{360^{\circ}}-\sqrt{3}\\
\boxed{\boxed{A_{vermelho}=\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}}}[/tex3]

A área solicitada, será:
[tex3]A_{hachurada}=\frac{\pi}{3}-\frac{2\pi}{3}+\sqrt{3}+\frac{\pi}{3}-\frac{2\pi}{3}+\sqrt{3}\\
[/tex3]

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[tex3]A_{hachurada}=\frac{\pi}{3}-\frac{2\pi}{3}+\sqrt{3}+\frac{\pi}{3}-\frac{2\pi}{3}+\sqrt{3}\\
[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{\boxed{A_{hachurada}=\(2\sqrt{3}-\frac{2\pi}{3}\)cm^2}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\boxed{A_{hachurada}=\(2\sqrt{3}-\frac{2\pi}{3}\)cm^2}}[/tex3]

99.png (7.49 KiB) Exibido 1453 vezes

[Berredo]

No começo não entendia de onde vinha os ângulos de 30° e 60°, depois percebi q completariam o ângulo reto do quadrado.
Muito obrigado.