[tex3]E=\frac{2x+yx-y^{2}-y}{x^{2}-y^{2}}[/tex3]
Se y = −1, obtenha algum valor de x, se existir, tal que [tex3]-\sqrt{3}\leq [/tex3]
E [tex3]\leq 0[/tex3]
, justificando sua resposta.
Após substituir y cheguei a [tex3]\frac{x}{x^{2}-1}[/tex3]
, está certo? Agora como determinar um valor para x [tex3]-\sqrt{3}\leq [/tex3]
E [tex3]\leq 0[/tex3]
?
Ensino Médio ⇒ Matemática Básica
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jul 2018
30
23:18
Re: Matemática Básica
[tex3]-\sqrt 3\leq\frac{x}{x^2-1}\leq 0[/tex3]
Fazendo a parte mais fácil primeiro:
[tex3]\frac{x}{(x-1)(x+1)}\leq 0[/tex3]
se x estiver entre - infinito e -1 , todos os 3 termos serão negativos, logo a expressão será negativa.
se esiver entre -1 e 0 x será negativo e x-1 será negativo, x+1 será postivo, logo, a expressãos erá positiva.
se estiver entre 0 e 1 x e x+1 será positivo e x-1 será negativo, logo, a expressãos erá negativa.
se estiver entre 1 e infinito, todos os 3 serão positivos, logo, a expressãos erá positiva, como a expressão pode ser 0, x pode ser 0.
então a solução para essa primeira parte é:
[tex3]x \in (-\infty,-1)\cup[0,1)[/tex3]
Agora a parte mais complicada:
[tex3]-\sqrt 3\leq\frac{x}{(x+1)(x-1) }\\0\leq \frac{x+\sqrt3 (x^2-1)}{(x-1)(x+1)}[/tex3]
resolvendo a equação de cima, para sabermos quando ela será positiva e negativa:
[tex3]x+\sqrt3 (x^2-1)\\\sqrt3x^2+x-\sqrt3=0\\\Delta=1+4.3=13\\x=\frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2\sqrt3}[/tex3]
como ela é uma parabola com concavidade para cima ela será negativa entre as raízes, e 0 para as raízes:
Fora dos limites das raízes a expressão de cima será positiva.
entre - infinito e a raiz menor, ( que é menor que -1)
apenas a parte de cima da expressão será positiva, x-1 e x+1 serão negativos., logo a expressão será positiva.
entre a raiz menor e -1, x-1 e x+1 as 3 partes serão negativas e logo a expressão será negativa:
entre -1 e a raíz menor a expressão de cima será negativa, x-1 será negativa e x+1 positiva, logo a expressãos erá positiva:
entre a segunda raíz e 1, apenas x-1 será negativa, as outras duas serão positivas, logo a expressão é negativa.
para valores maiores que 1todas serão positivas, logo a expressãos erá positiva;
[tex3]x \in (-\infty,\frac{-1-\sqrt{13}}{2\sqrt3) }]\cup(-1,\frac{-1+\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}] \cup (1,+\infty)[/tex3]
A solução é a intersecção das duas soluções:
[tex3]x \in (-\infty,\frac{-1-\sqrt{13}}{2\sqrt3}]\cup [0,\frac{-1+\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}][/tex3]
Fazendo a parte mais fácil primeiro:
[tex3]\frac{x}{(x-1)(x+1)}\leq 0[/tex3]
se x estiver entre - infinito e -1 , todos os 3 termos serão negativos, logo a expressão será negativa.
se esiver entre -1 e 0 x será negativo e x-1 será negativo, x+1 será postivo, logo, a expressãos erá positiva.
se estiver entre 0 e 1 x e x+1 será positivo e x-1 será negativo, logo, a expressãos erá negativa.
se estiver entre 1 e infinito, todos os 3 serão positivos, logo, a expressãos erá positiva, como a expressão pode ser 0, x pode ser 0.
então a solução para essa primeira parte é:
[tex3]x \in (-\infty,-1)\cup[0,1)[/tex3]
Agora a parte mais complicada:
[tex3]-\sqrt 3\leq\frac{x}{(x+1)(x-1) }\\0\leq \frac{x+\sqrt3 (x^2-1)}{(x-1)(x+1)}[/tex3]
resolvendo a equação de cima, para sabermos quando ela será positiva e negativa:
[tex3]x+\sqrt3 (x^2-1)\\\sqrt3x^2+x-\sqrt3=0\\\Delta=1+4.3=13\\x=\frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2\sqrt3}[/tex3]
como ela é uma parabola com concavidade para cima ela será negativa entre as raízes, e 0 para as raízes:
Fora dos limites das raízes a expressão de cima será positiva.
entre - infinito e a raiz menor, ( que é menor que -1)
apenas a parte de cima da expressão será positiva, x-1 e x+1 serão negativos., logo a expressão será positiva.
entre a raiz menor e -1, x-1 e x+1 as 3 partes serão negativas e logo a expressão será negativa:
entre -1 e a raíz menor a expressão de cima será negativa, x-1 será negativa e x+1 positiva, logo a expressãos erá positiva:
entre a segunda raíz e 1, apenas x-1 será negativa, as outras duas serão positivas, logo a expressão é negativa.
para valores maiores que 1todas serão positivas, logo a expressãos erá positiva;
[tex3]x \in (-\infty,\frac{-1-\sqrt{13}}{2\sqrt3) }]\cup(-1,\frac{-1+\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}] \cup (1,+\infty)[/tex3]
A solução é a intersecção das duas soluções:
[tex3]x \in (-\infty,\frac{-1-\sqrt{13}}{2\sqrt3}]\cup [0,\frac{-1+\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}][/tex3]
Lucas Pavan
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