Olá
BLP, seja bem-vindo(a)!!
BLP escreveu: ↑Sex 27 Jul, 2018 11:14
Um conjunto A é formado por todos os números naturais ímpares, com todos os algarismos distintos, que são menores que 3000. Podemos afirmar que o número de elementos do conjunto A é igual a:
(A) 504
(B) 824
(C) 864
(D) 869
De acordo com o enunciado, devemos determinar a quantidade de números ímpares quando o número possuir: apenas UM algarismo, DOIS algarismos, TRÊS algarismos e QUATRO algarismos.
Isto posto,
=>
UM algarismo:
p1
Decisão 1 (d
1): escolher um algarismo (natural) ímpar para a posição p
1; [tex3]\mathsf{\# d_1 = 5}[/tex3]
Ou seja, temos 5 números!
=>
DOIS algarismos:
p1 p2
Decisão 1 (d
1): escolher um algarismo ímpar para a posição p
2; [tex3]\mathsf{\# d_1 = 5}[/tex3]
Decisão 2 (d
2): escolher um algarismo para a posição p
1 diferente do escolhido em d
1 e de zero; [tex3]\mathsf{\# d_2 = 8}[/tex3]
De acordo com o
Princípio Fundamental da Contagem,
[tex3]\mathsf{5 \cdot 8 = \\\\ 40}[/tex3]
=>
TRÊS algarismos:
p1 p2 p3
Decisão 1 (d
1): escolher um algarismo ímpar para a posição p
3; [tex3]\mathsf{\# d_1 = 5}[/tex3]
Decisão 2 (d
2): escolher um algarismo para a posição p
1 diferente do escolhido em d
1 e de zero; [tex3]\mathsf{\# d_2 = 8}[/tex3]
Decisão 3 (d
3): escolher um algarismo para a posição p
2 diferente dos escolhidos em d
1 e d
2; [tex3]\mathsf{\# d_3 = 8}[/tex3]
Obs1.: na decisão 3, podemos incluir o zero em p
2!
Segundo o
PFC,
[tex3]\mathsf{5 \cdot 8 \cdot 8 = \\\\ 40 \cdot 8 = \\\\ 320}[/tex3]
No caso em que o número possui quatro algarismos, devemos considerar APENAS aqueles menores que 3000. Por isso, fazemos a contagem quando o número começa com UM e com DOIS. Veja:
==>
QUATRO algarismos:
p1 p2 p3 p4
Decisão 1 (d
1): colocar o algarismo UM em p
1; [tex3]\mathsf{\# d_1 = 1}[/tex3]
Decisão 2 (d
2): escolher um algarismo ímpar para a posição p
4 diferente do escolhido em d
1; [tex3]\mathsf{\# d_2 = 4}[/tex3]
Decisão 3 (d
3): escolher um algarismo para a posição p
2 diferente dos escolhidos em d
1 e d
2; [tex3]\mathsf{\# d_3 = 8}[/tex3]
Decisão 4 (d
4): escolher um algarismo para a posição p
3 diferente dos escolhidos em d
1, d
2 e d
3; [tex3]\mathsf{\# d_4 = 7}[/tex3]
Pelo
PFC,
[tex3]\mathsf{1 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 7 = \\\\ 32 \cdot 7 = \\\\ 224}[/tex3]
==>
QUATRO algarismos:
p1 p2 p3 p4
Decisão 1 (d
1): colocar o algarismo DOIS em p
1; [tex3]\mathsf{\# d_1 = 1}[/tex3]
Decisão 2 (d
2): escolher um algarismo ímpar para a posição p
4; [tex3]\mathsf{\# d_2 = 5}[/tex3]
Decisão 3 (d
3): escolher um algarismo para a posição p
2 diferente dos escolhidos em d
1 e d
2; [tex3]\mathsf{\# d_3 = 8}[/tex3]
Decisão 4 (d
4): escolher um algarismo para a posição p
3 diferente dos escolhidos em d
1, d
2 e d
3; [tex3]\mathsf{\# d_4 = 7}[/tex3]
PFC,
[tex3]\\ \mathsf{1 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 7 = \\\\ 40 \cdot 7 = \\\\ 280}[/tex3]
Por fim, pelo
Princípio Aditivo, concluímos que:
[tex3]\\ \mathsf{5 + 40 + 320 + 224 + 280 =} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{869}}}[/tex3]