Ensino MédioTetraedro Regular

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Autor do Tópico
Auto Excluído (ID:21242)
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Jul 2018 25 16:17

Tetraedro Regular

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:21242) »

Um tetraedro regular [tex3]ABCD[/tex3] em que [tex3]BH[/tex3] é a altura, [tex3]G[/tex3] é o baricentro da face [tex3]ABD[/tex3] e [tex3]BH\parallel GN[/tex3] . Se [tex3]AB=9[/tex3] , calcule a área da região [tex3]BHGN[/tex3] .
tetraedo.PNG
tetraedo.PNG (24.52 KiB) Exibido 1229 vezes
a) [tex3]2\sqrt{3}[/tex3]
b) [tex3]3\sqrt{3}[/tex3]
c) [tex3]6[/tex3]
d) [tex3]6\sqrt{6}[/tex3]
e) [tex3]12[/tex3]
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d




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fortran
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Jul 2018 26 12:04

Re: Tetraedro Regular

Mensagem não lida por fortran »

Um resultado preliminar: Num triângulo equilátero de lado de medida [tex3]a[/tex3] , o raio da circunferência inscrita neste triângulo mede [tex3]r=\frac{\sqrt{3}}{6}a[/tex3] e o raio da circunferência circunscrita neste triângulo mede [tex3]R=\frac{\sqrt{3}}{3}a[/tex3] .

Não é muito difícil provar a afirmação acima... No nosso caso, como [tex3]a=9[/tex3] , temos [tex3]r=\frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex3] e [tex3]R=3\sqrt{3}[/tex3] .

Agora, no [tex3]\Delta BHD[/tex3] temos [tex3]BD=a=9[/tex3] e [tex3]HD=R=3\sqrt{3}[/tex3] . Logo, por pitágoras tiramos que [tex3]BH=3\sqrt{6}[/tex3] .

Prolongando o segmento [tex3]BG[/tex3] até interceptar o segmento [tex3]AD[/tex3] no ponto [tex3]P[/tex3] , temos dois triângulos semelhantes [tex3]\Delta PNG[/tex3] e [tex3]\Delta PHB[/tex3] (pois [tex3]BH \parallel GN[/tex3] ).
ST10.jpg
ST10.jpg (8.48 KiB) Exibido 1194 vezes
Já sabemos que [tex3]BH=3\sqrt{6}[/tex3] e [tex3]PH=r=\frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex3] , por pitágoras calculamos [tex3]BP[/tex3] .
ST11.jpg
ST11.jpg (10 KiB) Exibido 1194 vezes
Como [tex3]GP=r=\frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex3] , pela semelhança de triângulo tiramos as demais medidas.
ST12.jpg
ST12.jpg (6.82 KiB) Exibido 1194 vezes
Agora, a área desejada é [tex3]A=A(\Delta PHB) - A(\Delta PNG)=6\sqrt{2}[/tex3] .

Não sei se por erro de digitação ou da questão mesmo, mas o gabarito está errado.




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