Um resultado preliminar: Num triângulo equilátero de lado de medida [tex3]a[/tex3]
, o raio da circunferência inscrita neste triângulo mede [tex3]r=\frac{\sqrt{3}}{6}a[/tex3]
e o raio da circunferência circunscrita neste triângulo mede [tex3]R=\frac{\sqrt{3}}{3}a[/tex3]
.
Não é muito difícil provar a afirmação acima... No nosso caso, como [tex3]a=9[/tex3]
, temos [tex3]r=\frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex3]
e [tex3]R=3\sqrt{3}[/tex3]
.
Agora, no [tex3]\Delta BHD[/tex3]
temos [tex3]BD=a=9[/tex3]
e [tex3]HD=R=3\sqrt{3}[/tex3]
. Logo, por pitágoras tiramos que [tex3]BH=3\sqrt{6}[/tex3]
.
Prolongando o segmento [tex3]BG[/tex3]
até interceptar o segmento [tex3]AD[/tex3]
no ponto [tex3]P[/tex3]
, temos dois triângulos semelhantes [tex3]\Delta PNG[/tex3]
e [tex3]\Delta PHB[/tex3]
(pois [tex3]BH \parallel GN[/tex3]
).
- ST10.jpg (8.48 KiB) Exibido 1216 vezes
Já sabemos que [tex3]BH=3\sqrt{6}[/tex3]
e [tex3]PH=r=\frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex3]
, por pitágoras calculamos [tex3]BP[/tex3]
.
- ST11.jpg (10 KiB) Exibido 1216 vezes
Como [tex3]GP=r=\frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex3]
, pela semelhança de triângulo tiramos as demais medidas.
- ST12.jpg (6.82 KiB) Exibido 1216 vezes
Agora, a área desejada é [tex3]A=A(\Delta PHB) - A(\Delta PNG)=6\sqrt{2}[/tex3]
.
Não sei se por erro de digitação ou da questão mesmo, mas o gabarito está errado.