Olá, Comunidade!

Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).

Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero 🙏)

Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!

Vamos crescer essa comunidade juntos 🥰

Grande abraço a todos,
Prof. Caju

Ensino Médio ⇒ Tetraedro Regular

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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Jul 2018 25 16:17

Tetraedro Regular

Mensagem não lidapor Auto Excluído (ID:21242) » 25 Jul 2018, 16:17

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:21242) »

Um tetraedro regular [tex3]ABCD[/tex3] em que [tex3]BH[/tex3] é a altura, [tex3]G[/tex3] é o baricentro da face [tex3]ABD[/tex3] e [tex3]BH\parallel GN[/tex3] . Se [tex3]AB=9[/tex3] , calcule a área da região [tex3]BHGN[/tex3] .
tetraedo.PNG
tetraedo.PNG (24.52 KiB) Exibido 1261 vezes
a) [tex3]2\sqrt{3}[/tex3]
b) [tex3]3\sqrt{3}[/tex3]
c) [tex3]6[/tex3]
d) [tex3]6\sqrt{6}[/tex3]
e) [tex3]12[/tex3]
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d
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fortran
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Jul 2018 26 12:04

Re: Tetraedro Regular

Mensagem não lidapor fortran » 26 Jul 2018, 12:04

Mensagem não lida por fortran »

Um resultado preliminar: Num triângulo equilátero de lado de medida [tex3]a[/tex3] , o raio da circunferência inscrita neste triângulo mede [tex3]r=\frac{\sqrt{3}}{6}a[/tex3] e o raio da circunferência circunscrita neste triângulo mede [tex3]R=\frac{\sqrt{3}}{3}a[/tex3] .

Não é muito difícil provar a afirmação acima... No nosso caso, como [tex3]a=9[/tex3] , temos [tex3]r=\frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex3] e [tex3]R=3\sqrt{3}[/tex3] .

Agora, no [tex3]\Delta BHD[/tex3] temos [tex3]BD=a=9[/tex3] e [tex3]HD=R=3\sqrt{3}[/tex3] . Logo, por pitágoras tiramos que [tex3]BH=3\sqrt{6}[/tex3] .

Prolongando o segmento [tex3]BG[/tex3] até interceptar o segmento [tex3]AD[/tex3] no ponto [tex3]P[/tex3] , temos dois triângulos semelhantes [tex3]\Delta PNG[/tex3] e [tex3]\Delta PHB[/tex3] (pois [tex3]BH \parallel GN[/tex3] ).
ST10.jpg
ST10.jpg (8.48 KiB) Exibido 1226 vezes
Já sabemos que [tex3]BH=3\sqrt{6}[/tex3] e [tex3]PH=r=\frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex3] , por pitágoras calculamos [tex3]BP[/tex3] .
ST11.jpg
ST11.jpg (10 KiB) Exibido 1226 vezes
Como [tex3]GP=r=\frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex3] , pela semelhança de triângulo tiramos as demais medidas.
ST12.jpg
ST12.jpg (6.82 KiB) Exibido 1226 vezes
Agora, a área desejada é [tex3]A=A(\Delta PHB) - A(\Delta PNG)=6\sqrt{2}[/tex3] .

Não sei se por erro de digitação ou da questão mesmo, mas o gabarito está errado.
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