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Mensagem não lidapor **jvmago** » 20 Jul 2018, 20:16 · Mensagem não lida por **jvmago** » 20 Jul 2018, 20:16

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dado um [tex3]\Delta ABC[/tex3] isósceles circunscrito a uma circunferência de raio r e base desigual b, sua altura valerá [tex3]h=\frac{2b^2r}{b^2-4r^2}[/tex3]

Pitágoras no [tex3]\Delta IAB [/tex3] temos:

[tex3]n^2=h^2+\frac{b^2}{4}[/tex3]
[tex3]n=\frac{\sqrt{4h^2+b^2}}{2}[/tex3]

Pitágoras no [tex3]\Delta EDB[/tex3] temos:

[tex3]m^2+r^2=h^2-2hr+r^2[/tex3]
[tex3]m^2=h^2-2hr[/tex3]
[tex3]m=\sqrt{h^2-2hr}[/tex3]

Note que [tex3]n=m+\frac{b}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt{4h^2+b^2}}{2}=\sqrt{h^2-2hr}+\frac{b}{2}[/tex3]
[tex3]\sqrt{4h^2+b^2}=2\sqrt{h^2-2hr}+b[/tex3]

Elevando ao quadrado
[tex3]4h^2+b^2=4(h^2-2hr)+4b\sqrt{h^2-2hr}+b^2[/tex3]
[tex3]4h^2+b^2=4h^2-8hr+4b\sqrt{h^2-2hr}+b^2[/tex3]
[tex3]-8hr+4b\sqrt{h^2-2hr}=0[/tex3]
[tex3]4b\sqrt{h^2-2hr}=8hr[/tex3]
[tex3]b\sqrt{h^2-2hr}=2hr[/tex3]

Elevando de novo ao quadrado
[tex3]b^2h^2-2hrb^2=4h^2r^2[/tex3]

Simplificando por [tex3]h[/tex3]
[tex3]b^2h-2b^2r-4r^2h=0[/tex3]
[tex3]h(b^2-4r^2)=2b^2r[/tex3]
[tex3]h=\frac{2b^2r}{b^2-4r^2}[/tex3]

Mensagem não lidapor **Andre13000** » 20 Jul 2018, 20:34 · Mensagem não lida por **Andre13000** » 20 Jul 2018, 20:34

Interessante demonstração, mas acredito que haja uma demonstração mais imediata. Você facilmente achou quanto vale n, e agora por igualdade de áreas:

[tex3]bh=(b+2n)r\\
\frac{b}{r}=\frac{b+2n}{h}=\frac{2n}{h-r}\\
\frac{b^2}{r^2}=\frac{4n^2}{(h-r)^2}=\frac{4h^2+b^2}{(h-r)^2}=\frac{4h}{h-2r}[/tex3]

Note que usei lei das proporções em certas passagens.

Mensagem não lidapor **jvmago** » 20 Jul 2018, 20:36 · Mensagem não lida por **jvmago** » 20 Jul 2018, 20:36

verdade, bem jogado man!

Mensagem não lidapor **jvmago** » 20 Jul 2018, 22:04 · Mensagem não lida por **jvmago** » 20 Jul 2018, 22:04

Andre13000 escreveu: ↑20 Jul 2018, 20:34 Interessante demonstração, mas acredito que haja uma demonstração mais imediata. Você facilmente achou quanto vale n, e agora por igualdade de áreas:

[tex3]bh=(b+2n)r\\
\frac{b}{r}=\frac{b+2n}{h}=\frac{2n}{h-r}\\
\frac{b^2}{r^2}=\frac{4n^2}{(h-r)^2}=\frac{4h^2+b^2}{(h-r)^2}=\frac{4h}{h-2r}[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]bh=(b+2n)r\\ \frac{b}{r}=\frac{b+2n}{h}=\frac{2n}{h-r}\\ \frac{b^2}{r^2}=\frac{4n^2}{(h-r)^2}=\frac{4h^2+b^2}{(h-r)^2}=\frac{4h}{h-2r}[/tex3]

Note que usei lei das proporções em certas passagens.

Boa noite, o que seriam essas "lei das proporções"? Grande abraço

20 Jul 2018, 22:13

Veja mago:
https://www.somatematica.com.br/fundam/propor6.php
Não estou entendendo o que o André fez no começo, não seria:
[tex3]\frac{b.h}{2}=\frac{(b+2m).r}{2}[/tex3]
E esta parte:
[tex3]\frac{b^2}{r^2}=\frac{4h}{h-2r}[/tex3]

Mensagem não lidapor **Andre13000** » 20 Jul 2018, 22:18 · Mensagem não lida por **Andre13000** » 20 Jul 2018, 22:18

Então vamos devagar: para conseguir a equação eu utilizei o seguinte fato; dado uma figura geométrica qualquer com um círculo inscrito, temos que a área dela é dada por:

[tex3]A=\rho r[/tex3]

Onde [tex3]\rho[/tex3] é o semiperímetro e r é o raio da circunferência inscrita. Note que essa relação pode ser estendida para qualquer dimensão.

Agora a segunda parte:

[tex3]\frac{b^2}{r^2}=\frac{4n^2}{(h-r)^2}=\frac{4h^2+b^2}{(h-r)^2}=\frac{4h^2+b^2-b^2}{(h-r)^2-r^2}=\frac{4h^2}{h(h-2r)}[/tex3]

Mensagem não lidapor **Andre13000** » 20 Jul 2018, 22:22 · Mensagem não lida por **Andre13000** » 20 Jul 2018, 22:22

A lei das proporções é a seguinte:

[tex3]\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}[/tex3]

De modo geral:

[tex3]\frac{x_i}{y_i}=\dots=\frac{x_j}{y_j}=\frac{\sum \pm x_m}{\sum \pm y_m}[/tex3]

20 Jul 2018, 22:31

To ligado, calculei errado a área, na verdade fui fazendo por partes e esqueci um pedaço da figura e acabou que não levei fé na demonstração. Que raiva! Que burrice!

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