Ensino Médio

Sabendo que M(4, 5), N(– 3, – 2) e P( 3, 2) são os pontos médios dos lados de um triângulo ABC, determine a reta suporte da mediana BM

Observe

Primeiro modo:

: 15311455779111377324303.jpg (43.2 KiB) Exibido 738 vezes

D é ponto médio de PN , logo:

[tex3]x_{D}=\frac{x_{P}+x_{N}}{2}=\frac{3-3}{2}=0[/tex3]

[tex3]y_{D}=\frac{y_{P}+y_{N}}{2}=\frac{2-2}{2}=0[/tex3]

Por outro lado, D é ponto médio de BM, logo:

[tex3]x_{D}=\frac{x_{B}+x_{M}}{2}→0=\frac{x_{B}+4}{2}→x_{B}=-4[/tex3]

[tex3]y_{D}=\frac{y_{B}+y_{M}}{2}→0=\frac{y_{B}+5}{2}→y_{B}=-5[/tex3]

Logo, o ponto B , ou melhor , o vértice B do triângulo ABC é ( - 4 , - 5 ). Calculando o coeficiente angular da reta suporte da mediana BM, temos:

[tex3]m_{BM}=\frac{y_{M}-y_{B}}{x_{M}-x_{B}}=\frac{5+5}{4+4}=\frac{5}{4}[/tex3]

Daí, tomando o ponto M( 4 , 5 ) , vem;

y - 5 = ( 5/4 ).( x - 4 )

4y - 20 = 5x - 20

5x - 4y = 0

Portanto, a reta suporte da mediana BM é 5x - 4y = 0.

Obs. Você poderia encontrar a reta BM usando determinante, veja;

[tex3]\left[ \begin{array}{ccc}
x & y & 1 \\
-4 & -5 & 1\\
4 & 5 & 1
\end{array} \right]=0[/tex3]

- 20 - 5x + 4y + 4y + 20 - 5x = 0

- 10x + 8y = 0 : ( - 2 )

5x - 4y = 0

Segundo modo:

[tex3]M=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2}, \frac{y
_{A}+y_{C}}{2}\right )→ \begin{cases}
\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=4→x_{A} +x_{C}=8 \ ( I )\\
\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=5→y_{A}+y_{C}=10 \ ( II )
\end{cases}[/tex3]
M = ( 4 , 5 )

[tex3]N=\left(\frac{x_{B}+x_{C}}{2}, \frac{y
_{B}+y_{C}}{2}\right )→ \begin{cases}
\frac{x_{B}+x_{C}}{2}=-3→x_{B} +x_{C}=-6 \ ( I II)\\
\frac{y_{B}+y_{C}}{2}=-2→y_{B}+y_{C}=-4 \ ( IV )
\end{cases}[/tex3]
N = ( - 3 , - 2 )

[tex3]P=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2}, \frac{y
_{A}+y_{B}}{2}\right )→ \begin{cases}
\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=3→x_{A} +x_{B}=6 \ (V)\\
\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=2→y_{A}+y_{B}=4 \ ( VI )
\end{cases}[/tex3]
P = ( 3 , 2 )

De ( I ) e ( III ), temos;

[tex3]\begin{cases}
x_{A} +x_{C}=8 \\
x_{B} +x_{C}=-6 \
\end{cases}→ x_{A}-x_{B}=14 \ (VII)[/tex3]

De ( VII ) e ( V ), vem;

[tex3]\begin{cases}
x_{A} -x_{B}=14 \\
x_{A} +x_{B}=6 \
\end{cases}→ x_{A} =10\ (VIII)[/tex3]

Substituindo ( VIII ) em ( V ) , fica;

[tex3]x_{A} +x_{B}=6 →10+x_{B}=6→x_{B} = -4[/tex3]

De ( I I ) e ( IV ), vem;

[tex3]\begin{cases}
y_{A} +y_{C}=10 \\
y_{B} +y_{C}=-4 \
\end{cases}→ y_{A}-y_{B}=14 \ (IX)[/tex3]

De ( IX ) e ( VI ), temos que;

[tex3]\begin{cases}
y_{A} -y_{B}=14 \\
y_{A} +y_{B}=4 \
\end{cases}→ y_{A} =9\ (X)[/tex3]

Substituindo ( X ) em ( VI ), fica;

[tex3]y_{A} +y_{B}=4 →9+y_{B}=4→y_{B} = -5[/tex3]

Logo, B( - 4 , - 5 ) , agora é só proceder da mesma maneira que eu fiz acima( primeiro modo!

Nota:

Os vértices do triângulo ABC são : A( 10 , 9 ) , B( - 4 , - 5 ) e C( - 2 , 1 ).

Bons estudos!

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