Ensino Médio ⇒ Desenvolvimento - Álgebra Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:20047)]

[tex3]\frac{m-1}{m-2}\geq -1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{m-1}{m-2}\geq -1[/tex3]

[tex3]\frac{m-1}{m-2}\leq 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{m-1}{m-2}\leq 1[/tex3]

Alguém poderia,com calma, desenvolver estas duas expressões para mim porfavor?

Boa noite!

[AndreBRasera]

Olá, tudo certo?

É o seguinte:

[tex3](I)\rightarrow \frac{m-1}{m-2}\geq -1\rightarrow \frac{m-1}{m-2}+1\geq 0\rightarrow \frac{m-1}{m-2}+\frac{m-2}{m-2}\geq 0\rightarrow \frac{2m-3}{m-2}\geq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](I)\rightarrow \frac{m-1}{m-2}\geq -1\rightarrow \frac{m-1}{m-2}+1\geq 0\rightarrow \frac{m-1}{m-2}+\frac{m-2}{m-2}\geq 0\rightarrow \frac{2m-3}{m-2}\geq 0[/tex3]

Assim, temos dois casos possíveis para que nossa fração seja POSITIVA ou NULA (igual a zero):

[tex3]1.\begin{cases}
m-2\geq 0\rightarrow m\geq 2 \\
2m-3\geq 0\rightarrow m\geq \frac{3}{2}\rightarrow m\geq 1,5
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1.\begin{cases}
m-2\geq 0\rightarrow m\geq 2 \\
2m-3\geq 0\rightarrow m\geq \frac{3}{2}\rightarrow m\geq 1,5
\end{cases}[/tex3]

[tex3]m=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m=2[/tex3]

é impossível (denominador não zera):

[tex3]1.\begin{cases}
m>2 \\
m\geq 1,5
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1.\begin{cases}
m>2 \\
m\geq 1,5
\end{cases}[/tex3]

Reta real seria:

Imagem2.png (8.67 KiB) Exibido 978 vezes

[tex3]2.\begin{cases}
m-2\leq 0\rightarrow m\leq 2 \\
2m-3\leq 0\rightarrow m\leq \frac{3}{2}\rightarrow m\leq 1,5
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2.\begin{cases}
m-2\leq 0\rightarrow m\leq 2 \\
2m-3\leq 0\rightarrow m\leq \frac{3}{2}\rightarrow m\leq 1,5
\end{cases}[/tex3]

Mesma coisa para o [tex3]m=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m=2[/tex3]

:

[tex3]2.\begin{cases}
m<2 \\
m\leq 1,5
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2.\begin{cases}
m<2 \\
m\leq 1,5
\end{cases}[/tex3]

Observe que o sinal negativo se cancela se ambos denominador e numerador forem negativos (negativo dividido por negativo é positivo); a reta real seria:

Imagem1.png (8.56 KiB) Exibido 978 vezes

Agora, unimos os conjuntos:

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Imagem4.png (8.79 KiB) Exibido 978 vezes

[tex3](II)\rightarrow \frac{m-1}{m-2}\leq 1\rightarrow \frac{m-1}{m-2}-1\leq 0\rightarrow \frac{m-1}{m-2}-\left(\frac{m-2}{m-2}\right)\leq 0\rightarrow \frac{m-1-m+2}{m-2}\leq 0\rightarrow \frac{1}{m-2}\leq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](II)\rightarrow \frac{m-1}{m-2}\leq 1\rightarrow \frac{m-1}{m-2}-1\leq 0\rightarrow \frac{m-1}{m-2}-\left(\frac{m-2}{m-2}\right)\leq 0\rightarrow \frac{m-1-m+2}{m-2}\leq 0\rightarrow \frac{1}{m-2}\leq 0[/tex3]

Aqui, é preciso analisar a fração: ela deve ser NEGATIVA (já que não há nulidade possível)[tex3]\left(\frac{1}{m-2}\leq 0\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{1}{m-2}\leq 0\right)[/tex3]

, logo, sendo o numerador (1) positivo, o denominador deve ser NEGATIVO (positivo dividido por negativo é negativo). Assim:

[tex3]m-2\leq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m-2\leq 0[/tex3]

; denominador nulo é impossível, daí: [tex3]m-2<0\rightarrow m<2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m-2<0\rightarrow m<2[/tex3]

Então:

Imagem5.png (5.9 KiB) Exibido 978 vezes

Espero ter ajudado. Abraço!

[Auto Excluído (ID:20047)]

Eaí AndreBRasera, jóia?

Notei alguns erros que você cometeu aqui :
[tex3](I)\rightarrow \frac{m-1}{m-2}\geq -1\rightarrow \frac{m-1}{m-2}+1\geq 0\rightarrow \frac{m-1}{m-2}+\frac{m-2}{m-2}\geq 0\rightarrow \frac{2m-3}{m-1}\geq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](I)\rightarrow \frac{m-1}{m-2}\geq -1\rightarrow \frac{m-1}{m-2}+1\geq 0\rightarrow \frac{m-1}{m-2}+\frac{m-2}{m-2}\geq 0\rightarrow \frac{2m-3}{m-1}\geq 0[/tex3]

o denominador deveria ser m-2

e
[tex3]II)\rightarrow \frac{m-1}{m-2}\geq 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]II)\rightarrow \frac{m-1}{m-2}\geq 1[/tex3]

aqui seria [tex3]\leq 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\leq 1[/tex3]

Poderia refazer para mim porfavor? Abraços e bons estudos !

[AndreBRasera]

Perdão, resolvi meio na correria! Hahahaha, vou editar!

Obrigado!