Ensino Médio ⇒ Números Complexos Tópico resolvido

[daloni]

Boa tarde a todos,

Nossa, esses números complexos são muito complexos mesmo, rsrsrsrs

Mais uma vez venho pedir ajuda aos colegas deste site, eu considero o exercício difícil... talvez porque eu não domine o assunto. Mas vamos lá...

Demonstre que dado qualquer número complexo z [tex3]\in \mathbb{C}[/tex3]

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[tex3]\in \mathbb{C}[/tex3]

, podemos escolher as raízes [tex3]\sqrt{z}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{z}[/tex3]

e [tex3]\sqrt{\overline{z}}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{\overline{z}}[/tex3]

(lembrando que cada uma tem dois valores possíveis) de tal forma que a soma [tex3]\sqrt{z} + \sqrt{\overline{z}}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{z} + \sqrt{\overline{z}}[/tex3]

seja sempre um número real. Tente generalizar esse resultado para uma raiz n-ésima.

Sinceramente, não consegui nem começar a resolver, coloquei a fórmula do número complexo e seu conjudado dentro da raiz, mas não sai do lugar...

Alguém se habilita?

Obrigada

[snooplammer]

Olá, a demonstração que irei mostrar não é muito formal, mas pode dar alguma intuição

[tex3]\sqrt{z}+\sqrt{\overline{z}}=k[/tex3]

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[tex3]\sqrt{z}+\sqrt{\overline{z}}=k[/tex3]

onde k é um número real
[tex3]a+bi +2\sqrt{a^2+b^2}+a-bi=k^2[/tex3]

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[tex3]a+bi +2\sqrt{a^2+b^2}+a-bi=k^2[/tex3]

[tex3]2a+2\sqrt{a^2+b^2}=k^2[/tex3]

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[tex3]2a+2\sqrt{a^2+b^2}=k^2[/tex3]

n=2 é válido

agora

[tex3]\sqrt[n]{z}+\sqrt[n]{\overline{z}}=k[/tex3]

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[tex3]\sqrt[n]{z}+\sqrt[n]{\overline{z}}=k[/tex3]

[tex3](\sqrt[n]{z}+\sqrt[n]{\overline{z}})^n=k^n[/tex3]

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[tex3](\sqrt[n]{z}+\sqrt[n]{\overline{z}})^n=k^n[/tex3]

Diante do triângulo de pascal, nós temos sempre o cancelamento de +bi com -bi, e por [tex3]z\cdot \overline{z}=a^2-b^2[/tex3]

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[tex3]z\cdot \overline{z}=a^2-b^2[/tex3]

nós nunca teremos um número complexo em [tex3]\sqrt[n]{z}+\sqrt[n]{\overline{z}}=k[/tex3]

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[tex3]\sqrt[n]{z}+\sqrt[n]{\overline{z}}=k[/tex3]

[daloni]

Nossa, que bom que você está me ajudando.
Mas eu fiz o passo a passo conforme o teu raciocínio. Não ficaria k² = 2a + 2 [tex3]\sqrt{a²+b²}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{a²+b²}[/tex3]

?

[snooplammer]

Sim, foi erro de digitação

[daloni]

Snooplamer, mas porque n=2. Eu acho que não estou entendendo

[snooplammer]

Eu apenas mostrei que é válido quando a raiz tem índice 2, e mostrei que é válido para raiz n-ésima a partir do triãngulo de pascal

Deve ter um jeito mais bonito pra mostrar

[snooplammer]

Quase 1 ano depois retorno a essa questão, kkkkjj

Seja [tex3]z=r\cis( \theta)[/tex3]

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[tex3]z=r\cis( \theta)[/tex3]

[tex3]\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\cis \left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)[/tex3]

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[tex3]\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\cis \left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)[/tex3]

[tex3]\overline{z}=r\cis(-\theta)[/tex3]

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[tex3]\overline{z}=r\cis(-\theta)[/tex3]

[tex3]\sqrt[n]{\overline{z}}=\sqrt[n]{r}\cis \left(\frac{-\theta+2k\pi}{n}\right)[/tex3]

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[tex3]\sqrt[n]{\overline{z}}=\sqrt[n]{r}\cis \left(\frac{-\theta+2k\pi}{n}\right)[/tex3]

[tex3]\sqrt[n]{z}+\sqrt[n]{\overline{z}}=\sqrt[n]{r}\cis \left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)+\sqrt[n]{r}\cis \left(\frac{-\theta+2k\pi}{n}\right)[/tex3]

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[tex3]\sqrt[n]{z}+\sqrt[n]{\overline{z}}=\sqrt[n]{r}\cis \left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)+\sqrt[n]{r}\cis \left(\frac{-\theta+2k\pi}{n}\right)[/tex3]

Por [tex3]\sen[/tex3]

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[tex3]\sen[/tex3]

ser uma função impar, as partes imaginárias vão se cancelar, resultando que
[tex3]\sqrt[n]{z}+\sqrt[n]{\overline{z}}=\sqrt[n]{r}\cdot 2\cos\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)[/tex3]

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[tex3]\sqrt[n]{z}+\sqrt[n]{\overline{z}}=\sqrt[n]{r}\cdot 2\cos\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)[/tex3]