Ensino Médio ⇒ Números Complexos Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jun 2018
24
17:37
Números Complexos
Boa tarde a todos,
Nossa, esses números complexos são muito complexos mesmo, rsrsrsrs
Mais uma vez venho pedir ajuda aos colegas deste site, eu considero o exercício difícil... talvez porque eu não domine o assunto. Mas vamos lá...
Demonstre que dado qualquer número complexo z [tex3]\in \mathbb{C}[/tex3] , podemos escolher as raízes [tex3]\sqrt{z}[/tex3] e [tex3]\sqrt{\overline{z}}[/tex3] (lembrando que cada uma tem dois valores possíveis) de tal forma que a soma [tex3]\sqrt{z} + \sqrt{\overline{z}}[/tex3] seja sempre um número real. Tente generalizar esse resultado para uma raiz n-ésima.
Sinceramente, não consegui nem começar a resolver, coloquei a fórmula do número complexo e seu conjudado dentro da raiz, mas não sai do lugar...
Alguém se habilita?
Obrigada
Nossa, esses números complexos são muito complexos mesmo, rsrsrsrs
Mais uma vez venho pedir ajuda aos colegas deste site, eu considero o exercício difícil... talvez porque eu não domine o assunto. Mas vamos lá...
Demonstre que dado qualquer número complexo z [tex3]\in \mathbb{C}[/tex3] , podemos escolher as raízes [tex3]\sqrt{z}[/tex3] e [tex3]\sqrt{\overline{z}}[/tex3] (lembrando que cada uma tem dois valores possíveis) de tal forma que a soma [tex3]\sqrt{z} + \sqrt{\overline{z}}[/tex3] seja sempre um número real. Tente generalizar esse resultado para uma raiz n-ésima.
Sinceramente, não consegui nem começar a resolver, coloquei a fórmula do número complexo e seu conjudado dentro da raiz, mas não sai do lugar...
Alguém se habilita?
Obrigada
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Jun 2018
24
20:23
Re: Números Complexos
Olá, a demonstração que irei mostrar não é muito formal, mas pode dar alguma intuição
[tex3]\sqrt{z}+\sqrt{\overline{z}}=k[/tex3] onde k é um número real
[tex3]a+bi +2\sqrt{a^2+b^2}+a-bi=k^2[/tex3]
[tex3]2a+2\sqrt{a^2+b^2}=k^2[/tex3]
n=2 é válido
agora
[tex3]\sqrt[n]{z}+\sqrt[n]{\overline{z}}=k[/tex3]
[tex3](\sqrt[n]{z}+\sqrt[n]{\overline{z}})^n=k^n[/tex3]
Diante do triângulo de pascal, nós temos sempre o cancelamento de +bi com -bi, e por [tex3]z\cdot \overline{z}=a^2-b^2[/tex3] nós nunca teremos um número complexo em [tex3]\sqrt[n]{z}+\sqrt[n]{\overline{z}}=k[/tex3]
[tex3]\sqrt{z}+\sqrt{\overline{z}}=k[/tex3] onde k é um número real
[tex3]a+bi +2\sqrt{a^2+b^2}+a-bi=k^2[/tex3]
[tex3]2a+2\sqrt{a^2+b^2}=k^2[/tex3]
n=2 é válido
agora
[tex3]\sqrt[n]{z}+\sqrt[n]{\overline{z}}=k[/tex3]
[tex3](\sqrt[n]{z}+\sqrt[n]{\overline{z}})^n=k^n[/tex3]
Diante do triângulo de pascal, nós temos sempre o cancelamento de +bi com -bi, e por [tex3]z\cdot \overline{z}=a^2-b^2[/tex3] nós nunca teremos um número complexo em [tex3]\sqrt[n]{z}+\sqrt[n]{\overline{z}}=k[/tex3]
Última edição: snooplammer (Dom 24 Jun, 2018 21:34). Total de 2 vezes.
Jun 2018
24
21:22
Re: Números Complexos
Nossa, que bom que você está me ajudando.
Mas eu fiz o passo a passo conforme o teu raciocínio. Não ficaria k² = 2a + 2 [tex3]\sqrt{a²+b²}[/tex3] ?
Mas eu fiz o passo a passo conforme o teu raciocínio. Não ficaria k² = 2a + 2 [tex3]\sqrt{a²+b²}[/tex3] ?
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Jun 2018
24
21:43
Re: Números Complexos
Snooplamer, mas porque n=2. Eu acho que não estou entendendo
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Jun 2018
24
21:53
Re: Números Complexos
Eu apenas mostrei que é válido quando a raiz tem índice 2, e mostrei que é válido para raiz n-ésima a partir do triãngulo de pascal
Deve ter um jeito mais bonito pra mostrar
Deve ter um jeito mais bonito pra mostrar
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Fev 2019
07
23:02
Re: Números Complexos
Quase 1 ano depois retorno a essa questão, kkkkjj
Seja [tex3]z=r\cis( \theta)[/tex3]
[tex3]\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\cis \left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)[/tex3]
[tex3]\overline{z}=r\cis(-\theta)[/tex3]
[tex3]\sqrt[n]{\overline{z}}=\sqrt[n]{r}\cis \left(\frac{-\theta+2k\pi}{n}\right)[/tex3]
[tex3]\sqrt[n]{z}+\sqrt[n]{\overline{z}}=\sqrt[n]{r}\cis \left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)+\sqrt[n]{r}\cis \left(\frac{-\theta+2k\pi}{n}\right)[/tex3]
Por [tex3]\sen[/tex3] ser uma função impar, as partes imaginárias vão se cancelar, resultando que
[tex3]\sqrt[n]{z}+\sqrt[n]{\overline{z}}=\sqrt[n]{r}\cdot 2\cos\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)[/tex3]
Seja [tex3]z=r\cis( \theta)[/tex3]
[tex3]\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\cis \left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)[/tex3]
[tex3]\overline{z}=r\cis(-\theta)[/tex3]
[tex3]\sqrt[n]{\overline{z}}=\sqrt[n]{r}\cis \left(\frac{-\theta+2k\pi}{n}\right)[/tex3]
[tex3]\sqrt[n]{z}+\sqrt[n]{\overline{z}}=\sqrt[n]{r}\cis \left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)+\sqrt[n]{r}\cis \left(\frac{-\theta+2k\pi}{n}\right)[/tex3]
Por [tex3]\sen[/tex3] ser uma função impar, as partes imaginárias vão se cancelar, resultando que
[tex3]\sqrt[n]{z}+\sqrt[n]{\overline{z}}=\sqrt[n]{r}\cdot 2\cos\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)[/tex3]
Última edição: snooplammer (Qui 07 Fev, 2019 23:03). Total de 1 vez.
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