Ensino Médio ⇒ Função máximo inteiro Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jun 2018
20
18:12
Função máximo inteiro
Seja a função f: {x ∈ R; x ≤ a} → {x ∈ R; x ≥ b}, dada f(x) = x² - 2x + 6. Determine o menor valor de a e o valor de b para que f seja bijetora
Out 2020
05
11:48
Re: Função máximo inteiro
Para que uma função seja bijetora, ela deve ser injetora e sobrejetora:
Pra obtermos injetividade, então cada valor de [tex3]x[/tex3] deve retornar um valor único para a função. No caso de uma parábola completa, isso não acontece. Podemos ver isso reescrevendo a equação como:
[tex3]f(x)=x^2-2x+6[/tex3]
[tex3]f(x)=x^2-2x+1+5[/tex3]
[tex3]f(x)=(x-1)^2+5[/tex3]
Vamos substituir [tex3]x-1[/tex3] por [tex3]m[/tex3]:
[tex3]f(m)=m^2+5[/tex3]
Aqui podemos ver que a condição não é válida para todo [tex3]m[/tex3]. Você pode conferir que [tex3]f(-m)=f(m)[/tex3]. Sendo assim, para termos injetividade, devemos calcular a função apenas sobre valores menores ou iguais a zero, já que os positivos nos retornam o mesmo valor que os negativos. Então devemos ter:
[tex3]m\leq 0[/tex3]
[tex3]x-1\leq 0[/tex3]
[tex3]x\leq 1[/tex3]
Então podemos escrever o domínio da função como:
[tex3]\text{D}(f)=\{x\in\mathbb R|x\leq1\}[/tex3]
Então [tex3]a=1[/tex3].
Para que a função seja sobrejetora, então ela deve conseguir "alcançar" todos os valores do contradomínio. Se olharmos na equação obtida antes:
[tex3]f(x)=(x-1)^2+5[/tex3]
O termo ao quadrado é sempre maior ou igual a zero. Então:
[tex3](x-1)^2\geq0[/tex3]
[tex3](x-1)^2+5\geq5[/tex3]
[tex3]f(x)\geq5[/tex3]
Portanto, o valor mínimo da nossa função é 5. Se o contradomínio possuir valores abaixo de 5, nossa função não os atingirá e, por definição, não será sobrejetora. Então nosso contradomínio deve possuir apenas valores maiores ou iguais a 5. Sendo assim, o contradomínio pode ser escrito como:
[tex3]\text{CD}(f)=\{x\in\mathbb R |x\geq5\}[/tex3]
Então [tex3]b=5[/tex3].
- Injetividade:
Pra obtermos injetividade, então cada valor de [tex3]x[/tex3] deve retornar um valor único para a função. No caso de uma parábola completa, isso não acontece. Podemos ver isso reescrevendo a equação como:
[tex3]f(x)=x^2-2x+6[/tex3]
[tex3]f(x)=x^2-2x+1+5[/tex3]
[tex3]f(x)=(x-1)^2+5[/tex3]
Vamos substituir [tex3]x-1[/tex3] por [tex3]m[/tex3]:
[tex3]f(m)=m^2+5[/tex3]
Aqui podemos ver que a condição não é válida para todo [tex3]m[/tex3]. Você pode conferir que [tex3]f(-m)=f(m)[/tex3]. Sendo assim, para termos injetividade, devemos calcular a função apenas sobre valores menores ou iguais a zero, já que os positivos nos retornam o mesmo valor que os negativos. Então devemos ter:
[tex3]m\leq 0[/tex3]
[tex3]x-1\leq 0[/tex3]
[tex3]x\leq 1[/tex3]
Então podemos escrever o domínio da função como:
[tex3]\text{D}(f)=\{x\in\mathbb R|x\leq1\}[/tex3]
Então [tex3]a=1[/tex3].
- Sobrejetividade
Para que a função seja sobrejetora, então ela deve conseguir "alcançar" todos os valores do contradomínio. Se olharmos na equação obtida antes:
[tex3]f(x)=(x-1)^2+5[/tex3]
O termo ao quadrado é sempre maior ou igual a zero. Então:
[tex3](x-1)^2\geq0[/tex3]
[tex3](x-1)^2+5\geq5[/tex3]
[tex3]f(x)\geq5[/tex3]
Portanto, o valor mínimo da nossa função é 5. Se o contradomínio possuir valores abaixo de 5, nossa função não os atingirá e, por definição, não será sobrejetora. Então nosso contradomínio deve possuir apenas valores maiores ou iguais a 5. Sendo assim, o contradomínio pode ser escrito como:
[tex3]\text{CD}(f)=\{x\in\mathbb R |x\geq5\}[/tex3]
Então [tex3]b=5[/tex3].
[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]
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