Ensino Médio ⇒ combinatoria com par e impar

[HeyBrothers]

Alguem me da uma dica desse tipo de conteudo, consegui responder outras questões mas essa ficou complicada

com os algarismos de 1 a 9, quantos números naturais de 7 algarismos, sendo que 3 algarismos são pares e 4 são ímpares, podem ser formados, se:

A) é permitida a repetição de algarismos pares, mas não é permitida a repetição de algarismos ímpares?

B) não é permitida a repetição de algarismos?

[Auto Excluído (ID:20809)]

b) Escolha os algarismos pares do número, [tex3]C_4^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_4^3[/tex3]

, escolha os algarismos ímpares, [tex3]C_5^4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_5^4[/tex3]

[tex3]7!\cdot C_4^3 \cdot C_5^4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]7!\cdot C_4^3 \cdot C_5^4[/tex3]

a) Acredito que seja suficiente dividir em casos:
i) todos os algarismos são diferentes
[tex3]7!\cdot C_4^3 \cdot C_5^4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]7!\cdot C_4^3 \cdot C_5^4[/tex3]

ii) dois algarismos pares são iguais e um é diferente, [tex3]C_4^2 \cdot 2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_4^2 \cdot 2[/tex3]

(há dois casos, escolhidos os dois números, podemos ter: AAB OU BBA), escolha os algarismos ímpares, [tex3]C_5^4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_5^4[/tex3]

Basta permutá-los, lembre-se da repetição..

iii) três algarismos pares são iguais, [tex3]C_4^1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_4^1[/tex3]

, escolha os algarismos ímpares, [tex3]C_5^4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_5^4[/tex3]

Basta permutá-los, lembre-se da repetição..

Acredito que seja isso, você tem gabarito?

[Kandarnon]

b) Escolha os algarismos pares do número, [tex3]C_4^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_4^3[/tex3]

, escolha os algarismos ímpares, [tex3]C_5^4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_5^4[/tex3]

[tex3]7!\cdot C_4^3 \cdot C_5^4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]7!\cdot C_4^3 \cdot C_5^4[/tex3]

a) Acredito que seja suficiente dividir em casos:
i) todos os algarismos são diferentes
[tex3]7!\cdot C_4^3 \cdot C_5^4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]7!\cdot C_4^3 \cdot C_5^4[/tex3]

ii) dois algarismos pares são iguais e um é diferente, [tex3]C_4^2 \cdot 2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_4^2 \cdot 2[/tex3]

(há dois casos, escolhidos os dois números, podemos ter: AAB OU BBA), escolha os algarismos ímpares, [tex3]C_5^4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_5^4[/tex3]

Basta permutá-los, lembre-se da repetição..

iii) três algarismos pares são iguais, [tex3]C_4^1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_4^1[/tex3]

, escolha os algarismos ímpares, [tex3]C_5^4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_5^4[/tex3]

Basta permutá-los, lembre-se da repetição..

Acredito que seja isso, você tem gabarito?

Mas como a ordem interfere, não se usaria arranjo?

[Auto Excluído (ID:20809)]

Mas como a ordem interfere, não se usaria arranjo?

Eu, particularmente, não gosto de arranjo..
Acho melhor pensar no que eu tenho que conseguir e fazer combinações/permutações para obter o resultado.
(A ordem importa no arranjo?..)

Irei explicar o item B, o item A é a mesma coisa, só que envolve permutação de elementos repetidos.

b) Inicialmente nós escolhemos os sete algarismos do número natural:
[tex3]C_4^3 \cdot C_5^4[/tex3]

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[tex3]C_4^3 \cdot C_5^4[/tex3]

No entanto, nós não sabemos a posição que eles podem ocupar, ou seja, podemos permutá-los entre si:
7!

Daí,

[tex3]7!\cdot C_4^3 \cdot C_5^4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]7!\cdot C_4^3 \cdot C_5^4[/tex3]

a)
ii) Escolhidos os algarismos,
[tex3]C_4^2 \cdot 2 \cdot C_5^4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_4^2 \cdot 2 \cdot C_5^4[/tex3]

a permutação envolve elementos repetidos, como há dois números iguais:
[tex3]P_7^2[/tex3]

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[tex3]P_7^2[/tex3]

De sorte que a resposta é pra ser [tex3]C_4^2 \cdot 2 \cdot C_5^4 \cdot P_7^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_4^2 \cdot 2 \cdot C_5^4 \cdot P_7^2[/tex3]

(faça o outro caso.. )