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Determinar [tex3]z\in \mathbb{C},[/tex3] tal que [tex3]z^3 = \overline{z}.[/tex3]

Resposta:

[tex3]z = 0[/tex3] ou [tex3]z=i[/tex3] ou [tex3]z=-i[/tex3] ou [tex3]z=1[/tex3] ou [tex3]z=-1[/tex3]

Mensagem não lida por **GiovanaMSP** » 21 Abr 2024, 17:08

Resolução 1:

Sejam [tex3]z=x+yi[/tex3] e [tex3]\bar{z}=x-yi[/tex3] . Manipulando a igualdade solicitada pelo enunciado:

[tex3]z^3=\bar{z}\to (x+yi)^3=x-yi\to x^3-y^3i+3x^2yi-3xy^2=x-yi[/tex3]

Separando a parte real da parte imaginária:

[tex3]\left(x^3-3xy^2\right)+\left(3x^2y-y^3\right)i=x-yi\ (i)[/tex3]

Sendo [tex3]u[/tex3] e [tex3]v[/tex3] números complexos, a igualdade entre ambos ocorre quando [tex3]Re(u)=Re(v)[/tex3] e [tex3]Im(u)=Im(v)[/tex3] . Assim, de [tex3](i)[/tex3] :

[tex3]\begin{cases}
x^3-3xy^2=x\ (ii) \\
3x^2y-y^3=-y\ (iii)
\end{cases}[/tex3]

Do sistema formado por [tex3](ii)[/tex3] e [tex3](iii)[/tex3] encontra-se os pares: [tex3](x,y)=\left \{ (-1,0),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,0) \right \}[/tex3] .

Deste modo: [tex3]\boxed{S=\left \{ z=\pm 1,z=\pm i,z=0 \right \}}[/tex3] .

Resolução 2:

Pela forma polar podemos escrever [tex3]z=x+yi[/tex3] como [tex3]z=rcos(\theta)+irsin(\theta)[/tex3] , tal que [tex3]|z|=r[/tex3] . Analogamente, para o conjugado de [tex3]z[/tex3] , tem-se [tex3]\bar{z}=rcos(\theta)-irsin(\theta)[/tex3] .

Por Euler: [tex3]z=|z|e^ {\theta i}=re^{\theta i}[/tex3] , com [tex3]e^{\theta i}=cos(\theta) +isin(\theta)[/tex3] e [tex3]e^{-\theta i}=cos(\theta) -isin(\theta)[/tex3] .

Assim, [tex3]z^3=r^3e^{3\theta i}[/tex3] e [tex3]\bar{z}=re^{-\theta i}[/tex3] , tal que:

[tex3]z^3=\bar{z}\to r^3cos(3\theta )+ir^3sin(3\theta )=rcos(\theta )-irsin(\theta )[/tex3]

[tex3]r^3cos(3\theta )=rcos(\theta )\ \therefore\ r=0\ \vee\ r=1[/tex3] , além de [tex3]\theta =\left \{ \frac{\pi}{2}-k\pi\ \vee\ k\pi,k\in \mathbb{Z} \right \}[/tex3] .

Para [tex3]\theta =\left \{ 0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},2\pi \right \}[/tex3] tem-se [tex3]\boxed{S=\left \{ z=\pm 1,z=\pm i,z=0 \right \}}[/tex3] .

Penso que seja isto.

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Números Complexos: Forma Algébtrica

Re: Números Complexos: Forma Algébtrica

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