Dada uma circunferência de diametro (AB) , levanta-se por A um segmento (AD) perpendicular ao plano da circunferência e une-se D a um ponto C qualquer da circunferência, C distinto de B.
Sabendo que (AB)=(AD)=8 e que C é o ponto médio do arco AB , determine a medida do ângulo CDB:
a)90
b)75
c)60
d)45
e)30
Ensino Médio ⇒ Geometria de posição (paralelismo) Tópico resolvido
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joaopcarv 
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Jun 2018
09
19:03
Re: Geometria de posição (paralelismo)
Temos aqui um esboço do caso feito no Illustrator [tex3]\rightarrow [/tex3]
Veja que o segmento [tex3]\mathsf{\overline{AD} \ \perp \ \overline{AB}, \ \overline{AC}}[/tex3]
, ambos, assim como [tex3]\mathsf{\overline{BC}} [/tex3]
contidos no plano da circunferência (ou seja, [tex3]\mathsf{\overline{AD}}[/tex3]
é uma "normal" a esse plano).
Além disso, [tex3]\mathsf{\overline{AC} \ \perp \ \overline{BC}}[/tex3] , já que trata-se de um ângulo inscrito que "enxerga" a meia-volta da circunferência (ou podemos dizer que é por causa da hipotenusa no diâmetro.)
Vamos inicialmente usar uns Pitágoras para relacionarmos esses lados...
[tex3]\mathsf{\overline{BD}^2 \ = \ \overline{AD}^2 \ + \ \overline{AB}^2 \ (I)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\overline{CD}^2 \ = \ \overline{AD}^2 \ + \ \overline{AC}^2 \ (II)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\overline{AB}^2 \ = \ \overline{BC}^2 \ + \ \overline{AC}^2 \ (III)}[/tex3]
Só de fazermos escalonamento, temos que:
[tex3]\mathsf{\overline{BD}^2 \ = \ \cancelto{\overline{CD}^2 \ \cancel{- \overline{AC}^2}}{\overline{AD}^2} \ + \ \cancelto{\overline{BC}^2 \ \cancel{+ \ \overline{AC}^2}}{\overline{AB}^2}} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\mathsf{\overline{BD}^2 \ = \ \overline{BC}^2 \ + \ \overline{CD}^2 \ \rightarrow \ \triangle BCD}[/tex3] é retângulo em [tex3]\mathsf{C}[/tex3] !
Como o ponto [tex3]\mathsf{C}[/tex3] se encontra no meio do arco [tex3]\mathsf{\overset{\frown}{AB}}[/tex3] , então os ângulos inscritos [tex3]\mathsf{\angle{BAC}}[/tex3] e [tex3]\mathsf{\angle{CBA}}[/tex3] são iguais e são [tex3]\mathsf{45^\circ.}[/tex3]
Isso implica que: [tex3]\mathsf{\overline{AC} \ = \ \overline{BC} \ = \ \cancelto{8 \ |u|}{\overline{AB}} \ \cdot \ sen(45^\circ) \ = \ 4 \ \cdot \ \sqrt{2} \
|u|}[/tex3]
Sabendo, por fim, que [tex3]\mathsf{\overline{AD} = \ \overline{AB} \ = \ 8 \ |u|}[/tex3] , temos [tex3]\mathsf{\overline{BD} \ = \ 8 \ \cdot \ \sqrt{2} \ |u|}[/tex3]
Como queremos [tex3]\mathsf{\angle{BDC}}[/tex3] , sabendo que [tex3]\mathsf{C}[/tex3] é retângulo neste plano:
[tex3]\mathsf{sen(\angle{BDC}) \ = \ \dfrac{\overline{BC}}{\overline{BD}} \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{sen(\angle{BDC}) \ = \ \dfrac{4 \ \cdot \ \sqrt{2} \ |u|}{8 \ \cdot \ \sqrt{2} \ |u|} \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{sen(\angle{BDC}) \ = \ \dfrac{1}{2} \ \rightarrow \boxed{\boxed{\mathsf{\angle{BDC \ = \ 30^\circ}}}} \ (0 \ < \ \angle{BDC} \ < \ 90^\circ)}[/tex3]
- joao.jpeg (9.28 KiB) Exibido 1904 vezes
Além disso, [tex3]\mathsf{\overline{AC} \ \perp \ \overline{BC}}[/tex3] , já que trata-se de um ângulo inscrito que "enxerga" a meia-volta da circunferência (ou podemos dizer que é por causa da hipotenusa no diâmetro.)
Vamos inicialmente usar uns Pitágoras para relacionarmos esses lados...
[tex3]\mathsf{\overline{BD}^2 \ = \ \overline{AD}^2 \ + \ \overline{AB}^2 \ (I)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\overline{CD}^2 \ = \ \overline{AD}^2 \ + \ \overline{AC}^2 \ (II)}[/tex3]
[tex3]\mathsf{\overline{AB}^2 \ = \ \overline{BC}^2 \ + \ \overline{AC}^2 \ (III)}[/tex3]
Só de fazermos escalonamento, temos que:
[tex3]\mathsf{\overline{BD}^2 \ = \ \cancelto{\overline{CD}^2 \ \cancel{- \overline{AC}^2}}{\overline{AD}^2} \ + \ \cancelto{\overline{BC}^2 \ \cancel{+ \ \overline{AC}^2}}{\overline{AB}^2}} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\mathsf{\overline{BD}^2 \ = \ \overline{BC}^2 \ + \ \overline{CD}^2 \ \rightarrow \ \triangle BCD}[/tex3] é retângulo em [tex3]\mathsf{C}[/tex3] !
Como o ponto [tex3]\mathsf{C}[/tex3] se encontra no meio do arco [tex3]\mathsf{\overset{\frown}{AB}}[/tex3] , então os ângulos inscritos [tex3]\mathsf{\angle{BAC}}[/tex3] e [tex3]\mathsf{\angle{CBA}}[/tex3] são iguais e são [tex3]\mathsf{45^\circ.}[/tex3]
Isso implica que: [tex3]\mathsf{\overline{AC} \ = \ \overline{BC} \ = \ \cancelto{8 \ |u|}{\overline{AB}} \ \cdot \ sen(45^\circ) \ = \ 4 \ \cdot \ \sqrt{2} \
|u|}[/tex3]
Sabendo, por fim, que [tex3]\mathsf{\overline{AD} = \ \overline{AB} \ = \ 8 \ |u|}[/tex3] , temos [tex3]\mathsf{\overline{BD} \ = \ 8 \ \cdot \ \sqrt{2} \ |u|}[/tex3]
Como queremos [tex3]\mathsf{\angle{BDC}}[/tex3] , sabendo que [tex3]\mathsf{C}[/tex3] é retângulo neste plano:
[tex3]\mathsf{sen(\angle{BDC}) \ = \ \dfrac{\overline{BC}}{\overline{BD}} \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{sen(\angle{BDC}) \ = \ \dfrac{4 \ \cdot \ \sqrt{2} \ |u|}{8 \ \cdot \ \sqrt{2} \ |u|} \rightarrow}[/tex3]
[tex3]\mathsf{sen(\angle{BDC}) \ = \ \dfrac{1}{2} \ \rightarrow \boxed{\boxed{\mathsf{\angle{BDC \ = \ 30^\circ}}}} \ (0 \ < \ \angle{BDC} \ < \ 90^\circ)}[/tex3]
Última edição: joaopcarv (Sáb 09 Jun, 2018 19:11). Total de 1 vez.
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
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