Ensino MédioGeometria de posição (paralelismo) Tópico resolvido

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Geometria de posição (paralelismo)

Mensagem não lida por Duvidoso » Sáb 09 Jun, 2018 17:13

Dada uma circunferência de diametro (AB) , levanta-se por A um segmento (AD) perpendicular ao plano da circunferência e une-se D a um ponto C qualquer da circunferência, C distinto de B.

Sabendo que (AB)=(AD)=8 e que C é o ponto médio do arco AB , determine a medida do ângulo CDB:

a)90

b)75

c)60

d)45

e)30




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joaopcarv
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Re: Geometria de posição (paralelismo)

Mensagem não lida por joaopcarv » Sáb 09 Jun, 2018 19:03

Temos aqui um esboço do caso feito no Illustrator [tex3]\rightarrow [/tex3]
joao.jpeg
joao.jpeg (9.28 KiB) Exibido 356 vezes
Veja que o segmento [tex3]\mathsf{\overline{AD} \ \perp \ \overline{AB}, \ \overline{AC}}[/tex3] , ambos, assim como [tex3]\mathsf{\overline{BC}} [/tex3] contidos no plano da circunferência (ou seja, [tex3]\mathsf{\overline{AD}}[/tex3] é uma "normal" a esse plano).

Além disso, [tex3]\mathsf{\overline{AC} \ \perp \ \overline{BC}}[/tex3] , já que trata-se de um ângulo inscrito que "enxerga" a meia-volta da circunferência (ou podemos dizer que é por causa da hipotenusa no diâmetro.)

Vamos inicialmente usar uns Pitágoras para relacionarmos esses lados...

[tex3]\mathsf{\overline{BD}^2 \ = \ \overline{AD}^2 \ + \ \overline{AB}^2 \ (I)}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\overline{CD}^2 \ = \ \overline{AD}^2 \ + \ \overline{AC}^2 \ (II)}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\overline{AB}^2 \ = \ \overline{BC}^2 \ + \ \overline{AC}^2 \ (III)}[/tex3]

Só de fazermos escalonamento, temos que:

[tex3]\mathsf{\overline{BD}^2 \ = \ \cancelto{\overline{CD}^2 \ \cancel{- \overline{AC}^2}}{\overline{AD}^2} \ + \ \cancelto{\overline{BC}^2 \ \cancel{+ \ \overline{AC}^2}}{\overline{AB}^2}} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\mathsf{\overline{BD}^2 \ = \ \overline{BC}^2 \ + \ \overline{CD}^2 \ \rightarrow \ \triangle BCD}[/tex3] é retângulo em [tex3]\mathsf{C}[/tex3] !

Como o ponto [tex3]\mathsf{C}[/tex3] se encontra no meio do arco [tex3]\mathsf{\overset{\frown}{AB}}[/tex3] , então os ângulos inscritos [tex3]\mathsf{\angle{BAC}}[/tex3] e [tex3]\mathsf{\angle{CBA}}[/tex3] são iguais e são [tex3]\mathsf{45^\circ.}[/tex3]

Isso implica que: [tex3]\mathsf{\overline{AC} \ = \ \overline{BC} \ = \ \cancelto{8 \ |u|}{\overline{AB}} \ \cdot \ sen(45^\circ) \ = \ 4 \ \cdot \ \sqrt{2} \
|u|}[/tex3]

Sabendo, por fim, que [tex3]\mathsf{\overline{AD} = \ \overline{AB} \ = \ 8 \ |u|}[/tex3] , temos [tex3]\mathsf{\overline{BD} \ = \ 8 \ \cdot \ \sqrt{2} \ |u|}[/tex3]

Como queremos [tex3]\mathsf{\angle{BDC}}[/tex3] , sabendo que [tex3]\mathsf{C}[/tex3] é retângulo neste plano:

[tex3]\mathsf{sen(\angle{BDC}) \ = \ \dfrac{\overline{BC}}{\overline{BD}} \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{sen(\angle{BDC}) \ = \ \dfrac{4 \ \cdot \ \sqrt{2} \ |u|}{8 \ \cdot \ \sqrt{2} \ |u|} \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{sen(\angle{BDC}) \ = \ \dfrac{1}{2} \ \rightarrow \boxed{\boxed{\mathsf{\angle{BDC \ = \ 30^\circ}}}} \ (0 \ < \ \angle{BDC} \ < \ 90^\circ)}[/tex3]

Última edição: joaopcarv (Sáb 09 Jun, 2018 19:11). Total de 1 vez.


"That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all."
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