Ensino Médio ⇒ Geometria e Ângulos no triangulo Tópico resolvido

[thursilverio]

Calcule o valor de [tex3]\alpha [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha [/tex3]

, tal que AD = 2DC

Resposta

---

[tex3]\alpha =75º[/tex3]

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[tex3]\alpha =75º[/tex3]

[MatheusBorges]

[tex3]\alpha =D\hat AB\\
\beta=D\hat BA\\
\alpha +\beta =120^{\circ}(I)\\
\overline{DA}=2a\\
\overline{CD}=a\\
\overline{DB}=b[/tex3]

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[tex3]\alpha =D\hat AB\\
\beta=D\hat BA\\
\alpha +\beta =120^{\circ}(I)\\
\overline{DA}=2a\\
\overline{CD}=a\\
\overline{DB}=b[/tex3]

Lei dos senos:
[tex3]\frac{\sen \alpha }{b}=\frac{\sen 60^{\circ}}{\overline{AB}}=\frac{\sen \beta}{2a}\\
\frac{\sen 45^{\circ}}{b}=\frac{\sen 15^{\circ}}{a}=\frac{\sen 120^{\circ}}{\overline{CB}}\\
\frac{2\sen\alpha }{\sen \beta.b}=\frac{1}{a}\rightarrow a=\frac{b.\sen\beta}{2\sen \alpha}=\frac{b.\sen 15^{\circ}}{\sen 45^{\circ}}\rightarrow \frac{\sen \beta }{\sen \alpha }=\sqrt{3}-1\rightarrow \\
\rightarrow (I)\rightarrow .\sen \beta =\sen (120-\beta).(\sqrt{3}-\sqrt{1})\rightarrow \sen \beta=\cos \beta\rightarrow \beta=45^{\circ }(I)\rightarrow \alpha =75^{\circ}
[/tex3]

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[tex3]\frac{\sen \alpha }{b}=\frac{\sen 60^{\circ}}{\overline{AB}}=\frac{\sen \beta}{2a}\\
\frac{\sen 45^{\circ}}{b}=\frac{\sen 15^{\circ}}{a}=\frac{\sen 120^{\circ}}{\overline{CB}}\\
\frac{2\sen\alpha }{\sen \beta.b}=\frac{1}{a}\rightarrow a=\frac{b.\sen\beta}{2\sen \alpha}=\frac{b.\sen 15^{\circ}}{\sen 45^{\circ}}\rightarrow \frac{\sen \beta }{\sen \alpha }=\sqrt{3}-1\rightarrow \\
\rightarrow (I)\rightarrow .\sen \beta =\sen (120-\beta).(\sqrt{3}-\sqrt{1})\rightarrow \sen \beta=\cos \beta\rightarrow \beta=45^{\circ }(I)\rightarrow \alpha =75^{\circ}
[/tex3]

Observações: [tex3]\sen (45-30)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}[/tex3]

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[tex3]\sen (45-30)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}[/tex3]

[tex3]\sen (120-\beta)=\cos (\beta-30)[/tex3]

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[tex3]\sen (120-\beta)=\cos (\beta-30)[/tex3]

[Andre13000]

Eu acho que há uma solução puramente geométrica mais fácil, mas foi esta que achei:

Dado esse triângulo ABC, marque o ponto P em DB tal que PCB=15.Temos DPC=PCB+PBC=15+15=30. Maravilha, pois daí, como DCP=30, o triângulo DCP é isósceles. Desse modo, note que DC=DP=a (Escrevi esta constante "a" por questão de brevidade). Nesse momento, seja o Q o ponto médio do segmento DA. Daí, CD=DQ=QA=a. Mas é curioso notar que o triângulo PQC tem um mediana, saindo do vértice P, tal que o comprimento dela é metade de CQ. Logo, PQC é retângulo no qual CPQ=90, e portanto como DPC=30, Temos DPQ=60. Veja também que ADP=DCP+DPC=30+30=60. Note que DQP=180-QDP-QPD=180-60-60=60. Podemos concluir que o triângulo DPQ é equilátero, do qual se tira que o segmento PQ=a. Como já sabemos que QA=a, PQA é isósceles. APQ é ângulo oposto a DQP, do qual podemos extrair AQP=120. Os outros ângulos são QAP=QPA=30. Finalmente, trace AP. É fácil ver que APB é 90, se você fez uma figura de tudo o que falei até agora. Para finalizar o problema, basta notar que os triângulos PDC e QAP são congruentes pelo critério LAL. Do ínicio do problema, PB=PC, mas da congruência que foi mostrada, PC=PA, logo P é incentro de ABC. Além disso, PA e PB (PA=PB) são catetos do triângulo retângulo PAB, sendo fácil ver que este terá ângulo de 45 para cada um dos ângulos agudos. Temos CAB=QAP+PAB=30+45=75.

[anastacialina]

Gente, poderiam me ajudar a entender essa passagem aqui? Por favor.
[tex3]\frac{\sen \alpha }{b}=\frac{\sen 60^{\circ}}{\overline{AB}}=\frac{\sen \beta}{2a}\\

\frac{\sen 45^{\circ}}{b}=\frac{\sen 15^{\circ}}{a}=\frac{\sen 120^{\circ}}{\overline{CB}}\\

\frac{2\sen\alpha }{\sen \beta.b}=\frac{1}{a}\rightarrow a=\frac{b.\sen\beta}{2\sen \alpha}=\frac{b.\sen 15^{\circ}}{\sen 45^{\circ}}\rightarrow \frac{\sen \beta }{\sen \alpha }=\sqrt{3}-1\rightarrow \\

\rightarrow (I)\rightarrow {\color{red}.\sen \beta =\sen (120-\beta).(\sqrt{3}-\sqrt{1})\rightarrow \sen \beta=\cos \beta} \rightarrow \beta=45^{\circ }(I)\rightarrow \alpha =75^{\circ}
[/tex3]

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[tex3]\frac{\sen \alpha }{b}=\frac{\sen 60^{\circ}}{\overline{AB}}=\frac{\sen \beta}{2a}\\

\frac{\sen 45^{\circ}}{b}=\frac{\sen 15^{\circ}}{a}=\frac{\sen 120^{\circ}}{\overline{CB}}\\

\frac{2\sen\alpha }{\sen \beta.b}=\frac{1}{a}\rightarrow a=\frac{b.\sen\beta}{2\sen \alpha}=\frac{b.\sen 15^{\circ}}{\sen 45^{\circ}}\rightarrow \frac{\sen \beta }{\sen \alpha }=\sqrt{3}-1\rightarrow \\

\rightarrow (I)\rightarrow {\color{red}.\sen \beta =\sen (120-\beta).(\sqrt{3}-\sqrt{1})\rightarrow \sen \beta=\cos \beta} \rightarrow \beta=45^{\circ }(I)\rightarrow \alpha =75^{\circ}
[/tex3]

[FelipeMartin]

é a lei dos senos, conhece? https://mundoeducacao.uol.com.br/matema ... 20tangente.

[petras]

FelipeMartin,
Ela quer saber como ele concluiu que sen [tex3]\beta = cos \beta [/tex3]

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[tex3]\beta = cos \beta [/tex3]

a partir da primeira igualdade
[tex3]{\color{red}\sen \beta =\sen (120-\beta).(\sqrt{3}-\sqrt{1})\rightarrow \sen \beta=\cos \beta} \rightarrow \beta=45^{\circ }(I)\rightarrow \alpha =75^{\circ}
[/tex3]

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[tex3]{\color{red}\sen \beta =\sen (120-\beta).(\sqrt{3}-\sqrt{1})\rightarrow \sen \beta=\cos \beta} \rightarrow \beta=45^{\circ }(I)\rightarrow \alpha =75^{\circ}
[/tex3]

[FelipeMartin]

petras, aaaa verdade.

[tex3]\sen (120 - \beta) = \sen (120) \cos (\beta) - \cos(120) \sen (\beta) \iff \sen (120 - \beta) = \frac12(\sqrt3 \cos(\beta) +\sen(\beta))[/tex3]

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[tex3]\sen (120 - \beta) = \sen (120) \cos (\beta) - \cos(120) \sen (\beta) \iff \sen (120 - \beta) = \frac12(\sqrt3 \cos(\beta) +\sen(\beta))[/tex3]

então

[tex3]2\sen (\beta) = (\sqrt3-1)(\sen \beta + \sqrt3 \cos \beta)[/tex3]

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[tex3]2\sen (\beta) = (\sqrt3-1)(\sen \beta + \sqrt3 \cos \beta)[/tex3]

expandindo:

[tex3](3-\sqrt3) \sen \beta = (3-\sqrt3) \cos \beta [/tex3]

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[tex3](3-\sqrt3) \sen \beta = (3-\sqrt3) \cos \beta [/tex3]

[anastacialina]

Meus heróis: petras e FelipeMartin. ♥♥♥

FelipeMartin, seu bobinho! Era o que o petras havia falado. LOL.