Acho que dá pra fazer o seguinte:
Sejam [tex3]r[/tex3]
e [tex3]s[/tex3]
duas retas reversas, e seja [tex3]P[/tex3]
um ponto que não pertence a nenhuma delas. Mostre que existe uma única reta [tex3]u[/tex3]
que passe por [tex3]P[/tex3]
e corta [tex3]r[/tex3]
e [tex3]s[/tex3]
.
Solução:
Suponha que exista duas retas [tex3]u_{1}[/tex3]
e [tex3]u_{2}[/tex3]
que passam pelo ponto [tex3]P[/tex3]
e cortam [tex3]r[/tex3]
e [tex3]s[/tex3]
. Sejam [tex3]A=u_{2} \cap r[/tex3]
, [tex3]B=u_{2} \cap s[/tex3]
, [tex3]C=u_{1} \cap r[/tex3]
e [tex3]D=u_{1} \cap s[/tex3]
.
Seja [tex3]\alpha[/tex3]
o plano que contém [tex3]u_{1}[/tex3]
e [tex3]u_{2}[/tex3]
(isto é possível pois por hipótese [tex3]u_{1}[/tex3]
e [tex3]u_{2}[/tex3]
são retas distintas que concorrem em [tex3]P[/tex3]
).
Tem-se que os pontos [tex3]A[/tex3]
, [tex3]B[/tex3]
, [tex3]C[/tex3]
e [tex3]D[/tex3]
estão todos em [tex3]\alpha[/tex3]
. Como [tex3]\alpha[/tex3]
contém dois pontos distintos de [tex3]r[/tex3]
([tex3]A[/tex3]
e [tex3]C[/tex3]
), temos que [tex3]r \subset \alpha[/tex3]
. Da mesma forma, como os pontos [tex3]B[/tex3]
e [tex3]D[/tex3]
de [tex3]s[/tex3]
estão em [tex3]\alpha[/tex3]
, [tex3]s \subset \alpha[/tex3]
. Assim, existe um plano [tex3]\alpha[/tex3]
que contém as retas [tex3]r[/tex3]
e [tex3]s[/tex3]
, o que contradiz a hipótese delas serem reversas. Assim, a reta [tex3]u[/tex3]
deve ser única.
Agora, a existência de [tex3]u[/tex3]
não é sempre garantida. Suponha o caso abaixo:
Tome uma reta [tex3]r[/tex3]
paralela a um plano [tex3]\alpha[/tex3]
. Em seguida, tome uma reta [tex3]s[/tex3]
contida em [tex3]\alpha[/tex3]
e um ponto [tex3]P \in \alpha[/tex3]
, tal que [tex3]P \not \in s[/tex3]
. Toda reta que passa por [tex3]P[/tex3]
e corta [tex3]s[/tex3]
, deve estar contida em [tex3]\alpha[/tex3]
, portanto nunca cortando [tex3]r[/tex3]
.
Este último resultado explica porque na sua resposta diz que o primeiro caso tem restrições. O plano formado pelo ponto e uma das retas não pode ser paralelo a outra. Na figura que você trouxe, por exemplo, não posso usar o plano definido por [tex3]r[/tex3]
e o ponto [tex3]E[/tex3]
e querer achar uma reta que corte [tex3]s[/tex3]
, pois isso não vai acontecer.
Dado a existência dessa reta [tex3]u[/tex3]
, ela necessariamente vai ser a intersecção dos planos [tex3]\alpha[/tex3]
e [tex3]\beta[/tex3]
definidos por duas das retas e um ponto pertencente a terceira.
Sejam [tex3]r[/tex3]
e [tex3]s[/tex3]
duas das retas reversas e um ponto [tex3]P \in t[/tex3]
(que respeite a existência da reta [tex3]u[/tex3]
a seguir). Seja a reta [tex3]u[/tex3]
que passe por [tex3]P[/tex3]
e corta [tex3]r[/tex3]
e [tex3]s[/tex3]
. Logo, [tex3]P \in u[/tex3]
e [tex3]u \cap r=A[/tex3]
e [tex3]u \cap s=B[/tex3]
. Seja [tex3]\alpha = (r,P)[/tex3]
o plano definido por [tex3]r[/tex3]
e [tex3]P[/tex3]
e analogamente [tex3]\beta = (s,P)[/tex3]
. Agora, [tex3]\alpha[/tex3]
contém os pontos [tex3]P[/tex3]
e [tex3]A[/tex3]
, portanto contém a reta que passa por estes dois pontos, logo [tex3]u \subset \alpha[/tex3]
. Da mesma forma, [tex3]\beta[/tex3]
contém [tex3]P[/tex3]
e [tex3]B[/tex3]
, e assim [tex3]u \subset \beta[/tex3]
. Se a reta [tex3]u[/tex3]
está contida nos dois planos, então [tex3]\alpha \cap \beta=u[/tex3]
, que é uma reta que corta as três retas em questão.
Acredito que seja isso,
MafIl10. Espero ter sido claro e veja se você concorda com a minha argumentação.