Seja [tex3]r=\frac{p}{q}[/tex3]
um número racional, escrito na forma irredutível: [tex3]mdc(p,q)=1[/tex3]
.
r é uma dízima periódica composta(não exata) se, e somente se, q contém, além dos fatores primos 2 ou 5, algum outro fator primo distinto desses. Nesta situação, o número de algarismos do anteperíodo é igual ao maior dos expoentes que aparecem em 2 ou em 5, após a decomposição.
Demonstração:
Se [tex3]q=2^{A+B}.5^A.C[/tex3]
, com C não divisível por 2 nem por 5 então [tex3]\frac{p}{q}=\frac{p.10^{-A}}{C.2^B}[/tex3]
Se [tex3]q=2^{A+B}.5^A.C[/tex3]
, com C não divisível por 2 nem por 5 então [tex3]\frac{p}{q}=\frac{p.10^{-A}}{C.5^B}[/tex3]
Como o primeiro dígito não nulo depois da vírgula no número [tex3]p.10^{-A}[/tex3]
está A casas depois da vírgula, para demonstrar que o anteperíodo possui [tex3]A+B[/tex3]
dígitos, basta mostrar que [tex3]\frac{1}{C.2^B}[/tex3]
e [tex3]\frac{1}{C.5^B}[/tex3]
tem suas dízimas começadas a partir da casa B depois da vírgula.
Seja [tex3]D=\frac{10^{\phi(C)}-1}{C}[/tex3]
(onde [tex3]\phi(C)[/tex3]
é a função de Euler, que diz o número de naturais menores ou iguais a N, primos a N). Pelo teorema de Euler: "Se A e N são primos entre si, [tex3]A^{\phi(N)}-1[/tex3]
é divisível por N".
Desta forma, pode-se reescrever as frações da seguinte forma: [tex3]\frac{5^B}{C}=\frac{5^B.D}{10^{\phi (C)}-1}[/tex3]
e [tex3]\frac{2^B}{C}=\frac{2^B.D}{10^{\phi(C)}-1}[/tex3]
Se Q1 é o resto de da divisão de [tex3]5^B.D[/tex3]
por [tex3]10^{\phi (C)}-1[/tex3]
e Q2 o resto da divisão de [tex3]2^B.D[/tex3]
por [tex3]10^{\phi(C)}-1[/tex3]
, reescrevendo as frações tem-se: [tex3]\frac{5^B}{C}=I_1+\frac{Q_1}{10^{\phi(C)}-1}[/tex3]
e [tex3]\frac{2^B}{C}=I_2+\frac{Q_2}{10^{\phi(C)}-1}[/tex3]
, onde I1 e I2 são dois números inteiros. Devido à soma da progressão geométrica:
[tex3]\frac{Q_1}{10^{\phi(C)}-1}=\frac{Q_1}{10^{\phi(C)}}+\frac{Q_1}{100^{\phi(C)}}+\frac{Q_1}{1000^{\phi(C)}}+...[/tex3]
e [tex3]\frac{Q_2}{10^{\phi(C)}-1}=\frac{Q_2}{10^{\phi(C)}}+\frac{Q_2}{100^{\phi(C)}}+\frac{Q_2}{1000^{\phi(C)}}+...[/tex3]
Portanto, para finalizar a demonstração basta mostrar que o algarismo das unidades de I1 é diferente do algarismo das unidades de Q1 e que o algarismo das unidades de I2 é diferente do algarismo das unidades de Q2.
Pelo algoritmo da divisão tem-se que [tex3]Q_1-I_1=5^B.C-I_1.10^{\phi(C)}[/tex3]
e ainda [tex3]Q_2-I_2=2^B.C-I_2.10^{\phi(C)}[/tex3]
. Como C é ímpar, tem-se que [tex3]Q_1-I_1[/tex3]
e [tex3]Q_2-I_2[/tex3]
não são múltiplos de 10 e segue o que foi dito acima.
Isso mostra nos dois casos que a parte não periódica tem A+B números, que é o maior dos expoentes dentre 2 e 5.
Eu não entendi direito a partir da hora que ele fala em função de Euler para frente. Desde já obrigado!
Ensino Médio ⇒ (Rufino Volume 0) Demonstração Dízima Periódica Composta
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