Seja [tex3]r=\frac{p}{q}[/tex3]
um número racional, escrito na forma irredutível: [tex3]mdc(p,q)=1[/tex3]
.
r é uma dízima periódica composta(não exata) se, e somente se, q contém, além dos fatores primos 2 ou 5, algum outro fator primo distinto desses. Nesta situação, o número de algarismos do anteperíodo é igual ao maior dos expoentes que aparecem em 2 ou em 5, após a decomposição.
Demonstração:
Se [tex3]q=2^{A+B}.5^A.C[/tex3]
, com C não divisível por 2 nem por 5 então [tex3]\frac{p}{q}=\frac{p.10^{-A}}{C.2^B}[/tex3]
Se [tex3]q=2^{A+B}.5^A.C[/tex3]
, com C não divisível por 2 nem por 5 então [tex3]\frac{p}{q}=\frac{p.10^{-A}}{C.5^B}[/tex3]
Como o primeiro dígito não nulo depois da vírgula no número [tex3]p.10^{-A}[/tex3]
está A casas depois da vírgula, para demonstrar que o anteperíodo possui [tex3]A+B[/tex3]
dígitos, basta mostrar que [tex3]\frac{1}{C.2^B}[/tex3]
e [tex3]\frac{1}{C.5^B}[/tex3]
tem suas dízimas começadas a partir da casa B depois da vírgula.
Seja [tex3]D=\frac{10^{\phi(C)}-1}{C}[/tex3]
(onde [tex3]\phi(C)[/tex3]
é a função de Euler, que diz o número de naturais menores ou iguais a N, primos a N). Pelo teorema de Euler: "Se A e N são primos entre si, [tex3]A^{\phi(N)}-1[/tex3]
é divisível por N".
Desta forma, pode-se reescrever as frações da seguinte forma: [tex3]\frac{5^B}{C}=\frac{5^B.D}{10^{\phi (C)}-1}[/tex3]
e [tex3]\frac{2^B}{C}=\frac{2^B.D}{10^{\phi(C)}-1}[/tex3]
Se Q1 é o resto de da divisão de [tex3]5^B.D[/tex3]
por [tex3]10^{\phi (C)}-1[/tex3]
e Q2 o resto da divisão de [tex3]2^B.D[/tex3]
por [tex3]10^{\phi(C)}-1[/tex3]
, reescrevendo as frações tem-se: [tex3]\frac{5^B}{C}=I_1+\frac{Q_1}{10^{\phi(C)}-1}[/tex3]
e [tex3]\frac{2^B}{C}=I_2+\frac{Q_2}{10^{\phi(C)}-1}[/tex3]
, onde I1 e I2 são dois números inteiros. Devido à soma da progressão geométrica:
[tex3]\frac{Q_1}{10^{\phi(C)}-1}=\frac{Q_1}{10^{\phi(C)}}+\frac{Q_1}{100^{\phi(C)}}+\frac{Q_1}{1000^{\phi(C)}}+...[/tex3]
e [tex3]\frac{Q_2}{10^{\phi(C)}-1}=\frac{Q_2}{10^{\phi(C)}}+\frac{Q_2}{100^{\phi(C)}}+\frac{Q_2}{1000^{\phi(C)}}+...[/tex3]
Portanto, para finalizar a demonstração basta mostrar que o algarismo das unidades de I1 é diferente do algarismo das unidades de Q1 e que o algarismo das unidades de I2 é diferente do algarismo das unidades de Q2.
Pelo algoritmo da divisão tem-se que [tex3]Q_1-I_1=5^B.C-I_1.10^{\phi(C)}[/tex3]
e ainda [tex3]Q_2-I_2=2^B.C-I_2.10^{\phi(C)}[/tex3]
. Como C é ímpar, tem-se que [tex3]Q_1-I_1[/tex3]
e [tex3]Q_2-I_2[/tex3]
não são múltiplos de 10 e segue o que foi dito acima.
Isso mostra nos dois casos que a parte não periódica tem A+B números, que é o maior dos expoentes dentre 2 e 5.
Eu não entendi direito a partir da hora que ele fala em função de Euler para frente. Desde já obrigado!
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
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Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Médio ⇒ (Rufino Volume 0) Demonstração Dízima Periódica Composta
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