Ensino Médio ⇒ (Rufino Vol.0) Demonstração de Polinômio 4

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Dado que [tex3]a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3[/tex3]

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[tex3]a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3[/tex3]

, prove que para todo número natural n: [tex3]a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}=(a+b+c)^{2n+1}[/tex3]

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[tex3]a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}=(a+b+c)^{2n+1}[/tex3]

.

[Tassandro]

Por hipótese
[tex3]\begin{align} a^3+b^3+c^3 & = (a+b+c)^3 \\ & = (a^3+b^3+c^3)+3(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2)+6abc, \end{align}[/tex3]

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[tex3]\begin{align} a^3+b^3+c^3 & = (a+b+c)^3 \\ & = (a^3+b^3+c^3)+3(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2)+6abc, \end{align}[/tex3]

Assim,
[tex3]0 = (a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2)+2abc = (a+b)(b+c)(c+a).[/tex3]

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[tex3]0 = (a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2)+2abc = (a+b)(b+c)(c+a).[/tex3]

Portanto, pelo menos um desses termos, [tex3]a+b[/tex3]

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[tex3]a+b[/tex3]

, [tex3]b+c[/tex3]

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[tex3]b+c[/tex3]

, [tex3]c+a[/tex3]

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[tex3]c+a[/tex3]

é igual a [tex3]0[/tex3]

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[tex3]0[/tex3]

; sem perda de generalidade, vamos assumir que [tex3]a+b=0[/tex3]

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[tex3]a+b=0[/tex3]

. Como [tex3](x+y) \mid (x^m+y^m)[/tex3]

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[tex3](x+y) \mid (x^m+y^m)[/tex3]

para todo [tex3]m[/tex3]

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[tex3]m[/tex3]

ímpar, nós temos que
[tex3]\big(a^{2n+1}+b^{2n+1}\big)+c^{2n+1} = c^{2n+1} = \big((a+b)+c\big)^{2n+1}. \blacksquare[/tex3]

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[tex3]\big(a^{2n+1}+b^{2n+1}\big)+c^{2n+1} = c^{2n+1} = \big((a+b)+c\big)^{2n+1}. \blacksquare[/tex3]