Ensino Médio ⇒ Combinação. Tópico resolvido

[odenildo]

Considere 12 bolas idênticas e 3 caixas distintas, verde, amarela e azul. De quantos modos podese dividir essas bolas nessas três caixas, sendo que podem existir caixas vazias?

A) 91
B) 110
C) 220
D) 1320
E) 3250

Gabarito:

Resposta

---

A

[POkemonPid]

Se as bolas são idênticas a única diferenciação possível é quanto o número de bolas que cada uma contém.
Exemplo:
[tex3]2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2[/tex3]

na verde, [tex3]5[/tex3]

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[tex3]5[/tex3]

na amarela e [tex3]5[/tex3]

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[tex3]5[/tex3]

na verde.
Então podemos exprimir isso em uma equação da forma:
[tex3]x + y + z = 12[/tex3]

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[tex3]x + y + z = 12[/tex3]

Onde [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

, [tex3]y[/tex3]

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[tex3]y[/tex3]

e [tex3]z[/tex3]

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[tex3]z[/tex3]

, representam o valor de bolas que cada caixa, verde, amarela e azul possuem, respectivamente.
O número de soluções naturais que essa equação possui é expresso pela combinação completa [tex3]C_{n + p- 1}^{p -1}[/tex3]

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[tex3]C_{n + p- 1}^{p -1}[/tex3]

. Sendo [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

o total [tex3](12)[/tex3]

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[tex3](12)[/tex3]

e [tex3]p[/tex3]

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[tex3]p[/tex3]

o número de variáveis [tex3](3)[/tex3]

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[tex3](3)[/tex3]

.
[tex3]C_{12 + 3 - 1}^{3 - 1} = C_{14}^{2}= 91[/tex3]

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[tex3]C_{12 + 3 - 1}^{3 - 1} = C_{14}^{2}= 91[/tex3]