Ensino Médio ⇒ Termo de uma PA Tópico resolvido

[japaesah]

Bom dia, poderia me ajudar com a solução desta questão:

Considere uma progressão aritmética finita em que a soma dos três primeiros termos é 39 e a soma dos quatro últimos é 190. Sabendo disso, pode-se afirmar que o termo central dessa sequência é:

A) 35
B) 31
C) 21
D) 15
E) 8

[petras]

[tex3]\mathsf{a-r+a+a+r=39\rightarrow 3a = 39\rightarrow a = 13 \therefore \boxed{a_2=13}\\

Fazendo~ algumas~ hipóteses:\\
PA (7 ~termos):a_4+a_5+a_6+a_7=190\rightarrow a_2+2r+a_2+3r+a_2+4r+a_2+5r=190\rightarrow 4a_2 +14r = 190\rightarrow 4(13)+14r=190\rightarrow r = \frac{138}{14}\\
PA (9 ~termos):a_6+a_7+a_8+a_9=190\rightarrow a_2+4r+a_2+5r+a_2+6r+a_2+7r=190\rightarrow 4a_2 +22r = 190\rightarrow 4(13)+22r=190\rightarrow r = \frac{138}{22}\\
PA (11 ~termos):a_8+a_9+a_{10}+a_{11}=190\rightarrow a_2+6r+a_2+7r+a_2+8r+a_2+9r=190\rightarrow 4a_2 +30r = 190\rightarrow 4(13)+20r=190\rightarrow r = \frac{138}{30}\\
...}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{a-r+a+a+r=39\rightarrow 3a = 39\rightarrow a = 13 \therefore \boxed{a_2=13}\\

Fazendo~ algumas~ hipóteses:\\
PA (7 ~termos):a_4+a_5+a_6+a_7=190\rightarrow a_2+2r+a_2+3r+a_2+4r+a_2+5r=190\rightarrow 4a_2 +14r = 190\rightarrow 4(13)+14r=190\rightarrow r = \frac{138}{14}\\
PA (9 ~termos):a_6+a_7+a_8+a_9=190\rightarrow a_2+4r+a_2+5r+a_2+6r+a_2+7r=190\rightarrow 4a_2 +22r = 190\rightarrow 4(13)+22r=190\rightarrow r = \frac{138}{22}\\
PA (11 ~termos):a_8+a_9+a_{10}+a_{11}=190\rightarrow a_2+6r+a_2+7r+a_2+8r+a_2+9r=190\rightarrow 4a_2 +30r = 190\rightarrow 4(13)+20r=190\rightarrow r = \frac{138}{30}\\
...}[/tex3]

[tex3]\mathsf{Padrão: n=7 \rightarrow 14r\\
n=9\rightarrow 22r\\
n=11\rightarrow 30r} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{Padrão: n=7 \rightarrow 14r\\
n=9\rightarrow 22r\\
n=11\rightarrow 30r} [/tex3]

Precisamos encontrar um divisor de 138 que complete a sequência de 14-22-30-...

Divisores de 138 = {1, 2, 3, 6, 23, 46, 69, 138}

O único valor que atende será 46 [tex3]\rightarrow \mathsf{r=\frac{138}{46}=3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow \mathsf{r=\frac{138}{46}=3}[/tex3]

Para 46r teremos n =15 [tex3]\rightarrow [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow [/tex3]

PA com n=15 e r = 3

[tex3]\mathsf{a_1=13-3=10\rightarrow a_n = 10+(15-1)3 = 52\rightarrow a_m=\frac{(a_1+a_n)}{2}=\frac{(10+52)}{2}=\boxed{31}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{a_1=13-3=10\rightarrow a_n = 10+(15-1)3 = 52\rightarrow a_m=\frac{(a_1+a_n)}{2}=\frac{(10+52)}{2}=\boxed{31}}[/tex3]

(Solução do Mestre Arthur)