Ensino MédioGeometria - Relações de ângulo no triângulo retângulo Tópico resolvido

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Andre13000
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Geometria - Relações de ângulo no triângulo retângulo

Mensagem não lida por Andre13000 »

No triângulo ABC, retângulo em C, CF é a mediana relativa a hipotenusa (F é ponto médio da hipotenusa). Ainda, CE é a bissetriz do ângulo ACB e CD é a altura relativa a hipotenusa. Prove que os ângulo DCE e ECF são congruentes.



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Auto Excluído (ID:12031)
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Re: Geometria - Relações de ângulo no triângulo retângulo

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

isso decorre diretamente do fato do ortocentro e o circuncentro serem conjugados isogonais num triângulo qualquer.

Pode ver isso pensando no triângulo isósceles CFB e no retângulo CDA de onde [tex3]\angle ACD = \angle FCB[/tex3]




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MatheusBorges
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Mar 2018 26 12:50

Re: Geometria - Relações de ângulo no triângulo retângulo

Mensagem não lida por MatheusBorges »

Eu não entendo sobre isso de conjugado isogonais que o Sousóeu fala. Ele disse até em um exercício do ITA recentemente e não compreendi até hoje.
Vou colocar minha demonstração.
Screenshot_2018-03-26-11-32-48.png
Screenshot_2018-03-26-11-32-48.png (43.83 KiB) Exibido 1375 vezes
Vou partir de pressupostos básicos. [tex3]\alpha [/tex3] é o ângulo que a bissetriz forma, [tex3]\psi=E\hat CF[/tex3] e [tex3]\theta =C\hat DE[/tex3] .
Veja que no triângulo ACF ele é isósceles pois [tex3]\overline{CF}\equiv\overline{FB}[/tex3]
Então o ângulo [tex3]F\hat CB\equiv C \hat BF\equiv\alpha -\psi[/tex3]
Analogamente:
[tex3]\alpha +\psi=A\hat CF\equiv F\hat AC[/tex3]
Esticando a reta suporte da altura A do triângulo retângulo ADC até um certo ponto G, chegamos a conclusão que:
[tex3]\triangle ADG\equiv \triangle ADC[/tex3]
Isso porque
Reto=Reto
[tex3]\overline{GD}=\overline{DC}[/tex3] , visto pela propriedade da corda secante.
e
[tex3]\overline{AD}[/tex3] é comum
Então [tex3]A\hat CD\equiv A\hat GC[/tex3]
Agora veja que esses ângulos são incritos e são iguais ao ângulo [tex3]A\hat BC[/tex3] .
Veja que [tex3]A\hat CD \equiv F\hat C B [/tex3]
E que
[tex3]\alpha -\psi+\theta +\psi+\alpha -\psi=2\alpha \rightarrow \theta \equiv \psi[/tex3]

Como queríamos demonstrar.

Última edição: MatheusBorges (Seg 26 Mar, 2018 16:50). Total de 2 vezes.


A alegria está na luta, na tentativa, no sofrimento envolvido e não na vitória propriamente dita.
-Mahatma Gandhi

Movido de IME / ITA para Ensino Médio em Seg 26 Mar, 2018 13:05 por ALDRIN

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