Ensino Médio ⇒ Geometria - Relações de ângulo no triângulo retângulo Tópico resolvido
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20:56
Geometria - Relações de ângulo no triângulo retângulo
No triângulo ABC, retângulo em C, CF é a mediana relativa a hipotenusa (F é ponto médio da hipotenusa). Ainda, CE é a bissetriz do ângulo ACB e CD é a altura relativa a hipotenusa. Prove que os ângulo DCE e ECF são congruentes.
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07:41
Re: Geometria - Relações de ângulo no triângulo retângulo
isso decorre diretamente do fato do ortocentro e o circuncentro serem conjugados isogonais num triângulo qualquer.
Pode ver isso pensando no triângulo isósceles CFB e no retângulo CDA de onde [tex3]\angle ACD = \angle FCB[/tex3]
Pode ver isso pensando no triângulo isósceles CFB e no retângulo CDA de onde [tex3]\angle ACD = \angle FCB[/tex3]
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Mar 2018
26
12:50
Re: Geometria - Relações de ângulo no triângulo retângulo
Eu não entendo sobre isso de conjugado isogonais que o Sousóeu fala. Ele disse até em um exercício do ITA recentemente e não compreendi até hoje.
Vou colocar minha demonstração. Vou partir de pressupostos básicos. [tex3]\alpha [/tex3] é o ângulo que a bissetriz forma, [tex3]\psi=E\hat CF[/tex3] e [tex3]\theta =C\hat DE[/tex3] .
Veja que no triângulo ACF ele é isósceles pois [tex3]\overline{CF}\equiv\overline{FB}[/tex3]
Então o ângulo [tex3]F\hat CB\equiv C \hat BF\equiv\alpha -\psi[/tex3]
Analogamente:
[tex3]\alpha +\psi=A\hat CF\equiv F\hat AC[/tex3]
Esticando a reta suporte da altura A do triângulo retângulo ADC até um certo ponto G, chegamos a conclusão que:
[tex3]\triangle ADG\equiv \triangle ADC[/tex3]
Isso porque
Reto=Reto
[tex3]\overline{GD}=\overline{DC}[/tex3] , visto pela propriedade da corda secante.
e
[tex3]\overline{AD}[/tex3] é comum
Então [tex3]A\hat CD\equiv A\hat GC[/tex3]
Agora veja que esses ângulos são incritos e são iguais ao ângulo [tex3]A\hat BC[/tex3] .
Veja que [tex3]A\hat CD \equiv F\hat C B [/tex3]
E que
[tex3]\alpha -\psi+\theta +\psi+\alpha -\psi=2\alpha \rightarrow \theta \equiv \psi[/tex3]
Como queríamos demonstrar.
Vou colocar minha demonstração. Vou partir de pressupostos básicos. [tex3]\alpha [/tex3] é o ângulo que a bissetriz forma, [tex3]\psi=E\hat CF[/tex3] e [tex3]\theta =C\hat DE[/tex3] .
Veja que no triângulo ACF ele é isósceles pois [tex3]\overline{CF}\equiv\overline{FB}[/tex3]
Então o ângulo [tex3]F\hat CB\equiv C \hat BF\equiv\alpha -\psi[/tex3]
Analogamente:
[tex3]\alpha +\psi=A\hat CF\equiv F\hat AC[/tex3]
Esticando a reta suporte da altura A do triângulo retângulo ADC até um certo ponto G, chegamos a conclusão que:
[tex3]\triangle ADG\equiv \triangle ADC[/tex3]
Isso porque
Reto=Reto
[tex3]\overline{GD}=\overline{DC}[/tex3] , visto pela propriedade da corda secante.
e
[tex3]\overline{AD}[/tex3] é comum
Então [tex3]A\hat CD\equiv A\hat GC[/tex3]
Agora veja que esses ângulos são incritos e são iguais ao ângulo [tex3]A\hat BC[/tex3] .
Veja que [tex3]A\hat CD \equiv F\hat C B [/tex3]
E que
[tex3]\alpha -\psi+\theta +\psi+\alpha -\psi=2\alpha \rightarrow \theta \equiv \psi[/tex3]
Como queríamos demonstrar.
Última edição: MatheusBorges (Seg 26 Mar, 2018 16:50). Total de 2 vezes.
A alegria está na luta, na tentativa, no sofrimento envolvido e não na vitória propriamente dita.
-Mahatma Gandhi
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