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Ensino Médio ⇒ (Poliedro) Triângulos - Pontos Notáveis Tópico resolvido
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leomaxwell 
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23
08:51
(Poliedro) Triângulos - Pontos Notáveis
No [tex3]\triangle ABC[/tex3]
a seguir, [tex3]M_1, M_2, M_3[/tex3]
são pontos médios dos lados do triângulo e [tex3]\overline{AD}[/tex3]
é a altura relativa ao lado [tex3]\overline{BC}[/tex3]
. Prove que o trapézio [tex3]M_1DM_2M_3[/tex3]
é isósceles.
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caju 
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Mar 2018
23
09:00
Re: (Poliedro) Triângulos - Pontos Notáveis
Olá leomaxwell,
Sendo [tex3]M_1[/tex3] e [tex3]M_3[/tex3] pontos médios, temos que [tex3]M_1M_3[/tex3] é base média em relação ao lado [tex3]AC[/tex3] , ou seja, [tex3]M_1M_3=\frac{AC}{2}[/tex3] .
Olhando para o triângulo retângulo [tex3]ACD[/tex3] , vemos que [tex3]M_2[/tex3] , por ser ponto médio da hipotenusa, é o centro do círculo de raio [tex3]R[/tex3] circunscrito a [tex3]ACD[/tex3] . Ou seja, [tex3]M_2A=M_2C=M_2D=R[/tex3] .
Portanto, temos que [tex3]M_2D[/tex3] vale metade de [tex3]AC[/tex3] [tex3]\rightarrow M_2D=\frac{AC}{2}[/tex3] . Assim, chegamos à conclusão que [tex3]M_1M_3=M_2D=\frac{AC}{2}[/tex3] , o que faz o trapézio [tex3]M_2DM_1M_3[/tex3] ter os lados opostos não paralelos iguais [tex3]\rightarrow[/tex3] trapézio isósceles. Como queríamos demonstrar.
Grande abraço,
Prof. Caju
Sendo [tex3]M_1[/tex3] e [tex3]M_3[/tex3] pontos médios, temos que [tex3]M_1M_3[/tex3] é base média em relação ao lado [tex3]AC[/tex3] , ou seja, [tex3]M_1M_3=\frac{AC}{2}[/tex3] .
Olhando para o triângulo retângulo [tex3]ACD[/tex3] , vemos que [tex3]M_2[/tex3] , por ser ponto médio da hipotenusa, é o centro do círculo de raio [tex3]R[/tex3] circunscrito a [tex3]ACD[/tex3] . Ou seja, [tex3]M_2A=M_2C=M_2D=R[/tex3] .
Portanto, temos que [tex3]M_2D[/tex3] vale metade de [tex3]AC[/tex3] [tex3]\rightarrow M_2D=\frac{AC}{2}[/tex3] . Assim, chegamos à conclusão que [tex3]M_1M_3=M_2D=\frac{AC}{2}[/tex3] , o que faz o trapézio [tex3]M_2DM_1M_3[/tex3] ter os lados opostos não paralelos iguais [tex3]\rightarrow[/tex3] trapézio isósceles. Como queríamos demonstrar.
Grande abraço,
Prof. Caju
"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
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leomaxwell
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Mar 2018
23
09:10
Re: (Poliedro) Triângulos - Pontos Notáveis
Nunca que eu teria percebido isso haha. Obrigado, caju
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