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Determine o intervalo de variação de [tex3]\alpha [/tex3] , de modo que a equação [tex3]x^{4}-(1-\alpha )x^2+2(\alpha -3)=0[/tex3] tenha duas raízes reais.

a) [tex3](-\infty ,\,2)[/tex3]
b) [tex3](-6; 7)[/tex3]
c) [tex3]\Re-\{5\}[/tex3]
d) [tex3](-\infty ,\,3)[/tex3]
e) [tex3](0;\,3)[/tex3]

Resolução:
Fazendo [tex3]x^{2}=y[/tex3] ,y>0, racaimos
numa equação quadrática:
[tex3]y^{2}-(1-\alpha )y+2(\alpha -3)=0[/tex3]
[tex3]\Delta =(1-\alpha )^{2}-4.1.2(\alpha -3)[/tex3]
[tex3]\Delta =(\alpha -1)^{2}-8(\alpha -3)[/tex3]
[tex3]\Delta =\alpha ^{2}-2\alpha +1-8\alpha +24[/tex3]
[tex3]\Delta =\alpha ^{2}-10\alpha
+25[/tex3]
[tex3]\Delta =(\alpha -5)^{2}[/tex3]
Fórmula de Báskara:
[tex3]y=\frac{(1-\alpha )\pm (\alpha -5)}{2}[/tex3]
[tex3]y'=\frac{(1-\cancel\alpha )+(\cancel\alpha -5)}{2}[/tex3]
[tex3]y'=-2[/tex3] (nao serve)
[tex3]y"=\frac{(1-\alpha )-(\alpha -5)}{2}[/tex3]
[tex3]y"=3-\alpha [/tex3]
Voltando para x, temos que:
[tex3]x^{2}=3-\alpha [/tex3]
[tex3]x=\pm \sqrt{3-\alpha }[/tex3]
Assim,para que x seja real devemos ter:
[tex3]3-\alpha>0 \rightarrow \alpha <3[/tex3]
[tex3]\rightarrow x\in (-\infty ,3)[/tex3]

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Condição de Existência

Condição de Existência

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