Ensino Médio ⇒ Elipse Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mar 2018
17
22:33
Elipse
Escreva a equacao canonica da elipse de excentricidade [tex3]3/5[/tex3]
, recta focal [tex3]OY[/tex3]
e directrizes [tex3]y=\pm 5[/tex3]
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Mar 2018
19
14:07
Re: Elipse
Observe:
Solução
[tex3]e = \frac{c}{a}→5c = 3a[/tex3]
Como os focos estão sobre o eixo Oy( centrada na origem ), a equação da elipse tem a seguinte característica;
[tex3]\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1[/tex3]
Por outro lado, usando a equação da diretriz ( [tex3]d_{2} : y - \frac{a}{e} = 0[/tex3] ,onde, y = 5 e e = [tex3]\frac{3}{5}[/tex3] , vem;
[tex3]5 = \frac{5a}{3}→a = 3→ a^{2} = 9[/tex3] .
Como 5c = 3a, fica;
5c = 3.3→ c = [tex3]\frac{9}{5}[/tex3] .
De a² = b² + c² , segue que b² = [tex3]\frac{144}{25}[/tex3] . Portanto,
[tex3]\frac{x^{2}}{\frac{144}{25}} + \frac{y^{2}}{9} = 1[/tex3]
Obs. Você poderia encontrar o valor de "c" usando a seguinte fórmula:
D( P , F ) = e.D( P , r )
Encontrando y = [tex3]\frac{15 + 5c}{8}[/tex3] , e substituindo esse mesmo valor e o valor de a = [tex3]\frac{5c}{3}[/tex3] na equação da elipse.( fazendo x = 0 ) ( muito trabalhoso!! ).
Bons estudos!!
Solução
[tex3]e = \frac{c}{a}→5c = 3a[/tex3]
Como os focos estão sobre o eixo Oy( centrada na origem ), a equação da elipse tem a seguinte característica;
[tex3]\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1[/tex3]
Por outro lado, usando a equação da diretriz ( [tex3]d_{2} : y - \frac{a}{e} = 0[/tex3] ,onde, y = 5 e e = [tex3]\frac{3}{5}[/tex3] , vem;
[tex3]5 = \frac{5a}{3}→a = 3→ a^{2} = 9[/tex3] .
Como 5c = 3a, fica;
5c = 3.3→ c = [tex3]\frac{9}{5}[/tex3] .
De a² = b² + c² , segue que b² = [tex3]\frac{144}{25}[/tex3] . Portanto,
[tex3]\frac{x^{2}}{\frac{144}{25}} + \frac{y^{2}}{9} = 1[/tex3]
Obs. Você poderia encontrar o valor de "c" usando a seguinte fórmula:
D( P , F ) = e.D( P , r )
Encontrando y = [tex3]\frac{15 + 5c}{8}[/tex3] , e substituindo esse mesmo valor e o valor de a = [tex3]\frac{5c}{3}[/tex3] na equação da elipse.( fazendo x = 0 ) ( muito trabalhoso!! ).
Bons estudos!!
Mar 2018
19
17:19
Re: Elipse
Muito obrigado !!! Tenho uma duvida, e possivel reescrever a equacao da elipse em funcao da excentricidade e de "a" ?
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