Ensino Médio ⇒ Elipse Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mar 2018
17
22:13
Elipse
Escreva a equacao da elipse com focos [tex3](\pm 2 ,0)[/tex3]
e cujo diametro principal maior 'e igual a [tex3]5[/tex3]
. Calcule as coordenadas dos vertices, os diametros principais, a excentricidade e as directrizes desta elipse.-
- Mensagens: 4008
- Registrado em: Sex 05 Jan, 2018 19:45
- Última visita: 04-04-23
- Localização: Teresina- PI
Mar 2018
19
11:29
Re: Elipse
Observe:
Solução
Primeiramente notamos que temos uma elipse de focos sobre o eixo Ox ( pois o ponto de ordenada da coordenada dos focos é zero( 0 ) ). Então;
c = 2 ( pois F( ± c , 0 ) ) e 2a = 5 → a = [tex3]\frac{5}{2}[/tex3] , e , como a² = b² + c² segue que b =[tex3]\frac{3}{2}[/tex3] . Desse modo a equação procurada é:
[tex3]\frac{(x - x_{o} )^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - y_{o} )^{2}}{b^{2}}= 1[/tex3]
Como a elipse está centrada na origem, temos:
[tex3]\frac{ x^{2}}{\frac{25}{4}} + \frac{y^{2}}{\frac{9}{4}}= 1[/tex3] , que é uma elipse com vértices [tex3]A_{1} = ( -\frac{5}{2}, 0 ) , A_{2}= ( \frac{5}{2} , 0 ) , B_{1}=( 0 , \frac{3}{2} ) \ e \ B_{2} = ( 0 , -\frac{3}{2} )[/tex3] .
Diâmetro principal
Basta fazer a intersecção da reta x = 2 com a elipse, então você encontrará y = [tex3]±\frac{9}{10}[/tex3] , daí D = [tex3]\frac{9}{10}+ \frac{9}{10}→ D = \frac{9}{5}[/tex3]
Excentricidade
[tex3]e =\frac{c}{a} → e = \frac{4}{5}[/tex3]
Diretrizes
[tex3]d_{1} : x + \frac{a}{e} = 0→ x = - \frac{25}{8}[/tex3]
[tex3]d_{2} : x - \frac{a}{e} = 0→ x = \frac{25}{8}[/tex3]
Ou
D'( P , F ) = e.D'( P , r )
Onde D' representa a distância, r = d = x é a reta da diretriz , P = [tex3]A_{2} = ( \frac{5}{2} , 0 ) \ e \ F_{1} ( 2 , 0 )[/tex3] , daí;
[tex3]\frac{5}{2} - 2 = \frac{4}{5}.(d -\frac{5}{2})[/tex3] , segue que [tex3]x = \frac{25}{8} \ e \ x = - \frac{25}{8}[/tex3] .
Nota
2a = 5 ( eixo maior )
2b = 3 ( eixo menor )
Bons estudos!!
Solução
Primeiramente notamos que temos uma elipse de focos sobre o eixo Ox ( pois o ponto de ordenada da coordenada dos focos é zero( 0 ) ). Então;
c = 2 ( pois F( ± c , 0 ) ) e 2a = 5 → a = [tex3]\frac{5}{2}[/tex3] , e , como a² = b² + c² segue que b =[tex3]\frac{3}{2}[/tex3] . Desse modo a equação procurada é:
[tex3]\frac{(x - x_{o} )^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - y_{o} )^{2}}{b^{2}}= 1[/tex3]
Como a elipse está centrada na origem, temos:
[tex3]\frac{ x^{2}}{\frac{25}{4}} + \frac{y^{2}}{\frac{9}{4}}= 1[/tex3] , que é uma elipse com vértices [tex3]A_{1} = ( -\frac{5}{2}, 0 ) , A_{2}= ( \frac{5}{2} , 0 ) , B_{1}=( 0 , \frac{3}{2} ) \ e \ B_{2} = ( 0 , -\frac{3}{2} )[/tex3] .
Diâmetro principal
Basta fazer a intersecção da reta x = 2 com a elipse, então você encontrará y = [tex3]±\frac{9}{10}[/tex3] , daí D = [tex3]\frac{9}{10}+ \frac{9}{10}→ D = \frac{9}{5}[/tex3]
Excentricidade
[tex3]e =\frac{c}{a} → e = \frac{4}{5}[/tex3]
Diretrizes
[tex3]d_{1} : x + \frac{a}{e} = 0→ x = - \frac{25}{8}[/tex3]
[tex3]d_{2} : x - \frac{a}{e} = 0→ x = \frac{25}{8}[/tex3]
Ou
D'( P , F ) = e.D'( P , r )
Onde D' representa a distância, r = d = x é a reta da diretriz , P = [tex3]A_{2} = ( \frac{5}{2} , 0 ) \ e \ F_{1} ( 2 , 0 )[/tex3] , daí;
[tex3]\frac{5}{2} - 2 = \frac{4}{5}.(d -\frac{5}{2})[/tex3] , segue que [tex3]x = \frac{25}{8} \ e \ x = - \frac{25}{8}[/tex3] .
Nota
2a = 5 ( eixo maior )
2b = 3 ( eixo menor )
Bons estudos!!
Mar 2018
19
17:32
Re: Elipse
Obrigado !! tenho uma duvida acerca do Diametro, o diametro principal=5, seria o que? pois calculaste o diametro principal, que segundo o que percebi, bastava pegar o foco, e substituir na elipse, neste caso x=2, uma vez que a elipse esta sobre o eixo x( recta focal OX), se estivesse em OY pegariamos o foco y=c, e achariamos o valor de x na elipse e fariamos o dobro, uma vez que e o Diametro( como se fosse 2 vezes o raio).
Última edição: Ronny (Seg 19 Mar, 2018 17:33). Total de 1 vez.
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 1 Respostas
- 433 Exibições
-
Última msg por NathanMoreira
-
-
Nova mensagem (FB) Geometria Analítica: Elipse
por Deleted User 23699 » » em Ensino Médio- 1 Respostas
- 636 Exibições
- Última msg por NigrumCibum
- 0 Respostas
- 412 Exibições
-
Última msg por simonecig
- 0 Respostas
- 405 Exibições
-
Última msg por simonecig
-