Ensino Médio ⇒ Elipse Tópico resolvido

[Ronny]

Escreva a equacao da elipse com focos [tex3](\pm 2 ,0)[/tex3]

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[tex3](\pm 2 ,0)[/tex3]

e cujo diametro principal maior 'e igual a [tex3]5[/tex3]

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[tex3]5[/tex3]

. Calcule as coordenadas dos vertices, os diametros principais, a excentricidade e as directrizes desta elipse.

[Cardoso1979]

Observe:

Solução

Primeiramente notamos que temos uma elipse de focos sobre o eixo Ox ( pois o ponto de ordenada da coordenada dos focos é zero( 0 ) ). Então;

c = 2 ( pois F( ± c , 0 ) ) e 2a = 5 → a = [tex3]\frac{5}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{5}{2}[/tex3]

, e , como a² = b² + c² segue que b =[tex3]\frac{3}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{3}{2}[/tex3]

. Desse modo a equação procurada é:

[tex3]\frac{(x - x_{o} )^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - y_{o} )^{2}}{b^{2}}= 1[/tex3]

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[tex3]\frac{(x - x_{o} )^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - y_{o} )^{2}}{b^{2}}= 1[/tex3]

Como a elipse está centrada na origem, temos:

[tex3]\frac{ x^{2}}{\frac{25}{4}} + \frac{y^{2}}{\frac{9}{4}}= 1[/tex3]

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[tex3]\frac{ x^{2}}{\frac{25}{4}} + \frac{y^{2}}{\frac{9}{4}}= 1[/tex3]

, que é uma elipse com vértices [tex3]A_{1} = ( -\frac{5}{2}, 0 ) , A_{2}= ( \frac{5}{2} , 0 ) , B_{1}=( 0 , \frac{3}{2} ) \ e \ B_{2} = ( 0 , -\frac{3}{2} )[/tex3]

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[tex3]A_{1} = ( -\frac{5}{2}, 0 ) , A_{2}= ( \frac{5}{2} , 0 ) , B_{1}=( 0 , \frac{3}{2} ) \ e \ B_{2} = ( 0 , -\frac{3}{2} )[/tex3]

.

Diâmetro principal

Basta fazer a intersecção da reta x = 2 com a elipse, então você encontrará y = [tex3]±\frac{9}{10}[/tex3]

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[tex3]±\frac{9}{10}[/tex3]

, daí D = [tex3]\frac{9}{10}+ \frac{9}{10}→ D = \frac{9}{5}[/tex3]

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[tex3]\frac{9}{10}+ \frac{9}{10}→ D = \frac{9}{5}[/tex3]

Excentricidade

[tex3]e =\frac{c}{a} → e = \frac{4}{5}[/tex3]

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[tex3]e =\frac{c}{a} → e = \frac{4}{5}[/tex3]

Diretrizes

[tex3]d_{1} : x + \frac{a}{e} = 0→ x = - \frac{25}{8}[/tex3]

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[tex3]d_{1} : x + \frac{a}{e} = 0→ x = - \frac{25}{8}[/tex3]

[tex3]d_{2} : x - \frac{a}{e} = 0→ x = \frac{25}{8}[/tex3]

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[tex3]d_{2} : x - \frac{a}{e} = 0→ x = \frac{25}{8}[/tex3]

Ou

D'( P , F ) = e.D'( P , r )

Onde D' representa a distância, r = d = x é a reta da diretriz , P = [tex3]A_{2} = ( \frac{5}{2} , 0 ) \ e \ F_{1} ( 2 , 0 )[/tex3]

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[tex3]A_{2} = ( \frac{5}{2} , 0 ) \ e \ F_{1} ( 2 , 0 )[/tex3]

, daí;

[tex3]\frac{5}{2} - 2 = \frac{4}{5}.(d -\frac{5}{2})[/tex3]

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[tex3]\frac{5}{2} - 2 = \frac{4}{5}.(d -\frac{5}{2})[/tex3]

, segue que [tex3]x = \frac{25}{8} \ e \ x = - \frac{25}{8}[/tex3]

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[tex3]x = \frac{25}{8} \ e \ x = - \frac{25}{8}[/tex3]

.

Nota

2a = 5 ( eixo maior )

2b = 3 ( eixo menor )


Bons estudos!!

[Ronny]

Obrigado !! tenho uma duvida acerca do Diametro, o diametro principal=5, seria o que? pois calculaste o diametro principal, que segundo o que percebi, bastava pegar o foco, e substituir na elipse, neste caso x=2, uma vez que a elipse esta sobre o eixo x( recta focal OX), se estivesse em OY pegariamos o foco y=c, e achariamos o valor de x na elipse e fariamos o dobro, uma vez que e o Diametro( como se fosse 2 vezes o raio).