Ensino Médio ⇒ combinações Tópico resolvido

[omp]

Olá a todos.
Combinando os números de 1 a 6 é possível formar 15 conjuntos de 4 números.
Tomando um desses conjuntos como referência como é possível calcular em quantos dos 15 conjuntos repetem-se ao menos 3 números do conjunto tomado como referência?

Exemplo ~~~> combinando 6 números 4 a 4 resulta em 15 conjuntos:
1 2 3 4
1 2 3 5
1 2 3 6
1 2 4 5
1 2 4 6
1 2 5 6
1 3 4 5
1 3 4 6
1 3 5 6
1 4 5 6
2 3 4 5
2 3 4 6
2 3 5 6
2 4 5 6
3 4 5 6

Agora tomando por exemplo o conjunto 1 2 4 6 como referência e comparando-o aos 15 conjuntos acima, em 9 deles se repetem ao menos 3 números do conjunto referência, conforme relação abaixo:
1 2 3 4
1 2 3 6
1 2 4 5
1 2 4 6
1 2 5 6
1 3 4 6
1 4 5 6
2 3 4 6
2 4 5 6

É possível calcular essa quantidade de 9 sub conjuntos fazendo referência à quantidade inicial de números, neste caso 6 (de 1 a 6), à quantidade de elementos que formam cada conjunto, neste caso 4, e à quantidade mínima de elementos que se repetem, neste caso 3 ?

Antecipadamente agradeço a todos.

[csmarcelo]

Sim, é possível.

[tex3]n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n[/tex3]

: total de algarismos
[tex3]p[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p[/tex3]

: elementos de cada conjunto
[tex3]m[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m[/tex3]

: quantidade mínima de elementos que se repetem

Total de subconjuntos: [tex3]\sum^{n}_{i=m}\(C^p_i\cdot C^{n-p}_{p-i}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum^{n}_{i=m}\(C^p_i\cdot C^{n-p}_{p-i}\)[/tex3]

[omp]

Olá, Marcelo.
Muito obrigado pela ajuda.
Não sei se estou fazendo os cálculos de forma correta pois não domino a aplicação da fórmula que você sugeriu. Poderia ajudar, por favor.

Eu fiz:
Cp,i = C4,3 ~~~> C4,3 = 4 e
C n-p,p-i = C6-4,4-3 ~~~> C2,1 = 2
que multiplicados resulta 8, porém o resultado esperado é 9.

Obrigado

[csmarcelo]

Faltou o somatório.

Quando digo [tex3]\sum^n_{i=m}x_i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum^n_{i=m}x_i[/tex3]

, quero dizer [tex3]x_m+x_{m+1}+x_{m+2}+...+x_n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_m+x_{m+1}+x_{m+2}+...+x_n[/tex3]

.

No nosso caso, queremos [tex3]\sum^{4}_{i=3}\(C^4_i\cdot C^{2}_{4-i}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum^{4}_{i=3}\(C^4_i\cdot C^{2}_{4-i}\)[/tex3]

, que é igual a [tex3]\(C^4_3\cdot C^{2}_{1}\)+\(C^4_4\cdot C^{2}_{0}\)=8+1=9[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\(C^4_3\cdot C^{2}_{1}\)+\(C^4_4\cdot C^{2}_{0}\)=8+1=9[/tex3]

.

[omp]

Agora fechou!

Muito obrigado !